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W Oevel Mathematik B fur Wirtschaftswissenschaftler
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1 Grundlagen der Analysis 1,1 1 Bezeichnungen Notation Rechenregeln 1. 1 2 Folgen und Grenzwerte 2,1 2 1 Definitionen und Beispiele 2. 1 2 2 Unendliches 8,1 3 Reihen 10,1 4 Funktionen 18. 1 4 1 Definitionen 18,1 4 2 Stetigkeit 19,1 4 3 Umkehrfunktionen 24. 1 4 4 Einige mathematische Funktionen 28,1 4 5 Einige o konomische Funktionen 32.
2 Differentialrechnung 35,2 1 Definitionen und Sa tze 35. 2 2 Taylor Reihen 42,2 3 Monotonie Extremwerte 45,2 4 Die l Hospitalsche Regel 47. 3 O ko Anwendungen 49,4 Integration 53,4 1 Stammfunktionen das unbestimmte Integral 53. 4 1 1 Definitionen Grundintegrale 53,4 1 2 Partielle Integration 55. 4 1 3 Substitution 57, 4 1 4 Rationale Integranden Partialbruchzerlegung 59.
4 2 Das bestimmte Integral 63,4 3 Der Hauptsatz 66. 4 4 Uneigentliche Integrale 70,5 Differentiation in mehreren Variablen 73. 5 1 Partielle Ableitungen 73,5 2 Extrema 79,5 3 Extrema unter Nebenbedingungen 85. 5 4 Anwendungen in der O konomie 88,6 Differentialgleichungen erster Ordnung 93. 6 1 Definitionen 93,6 2 Graphische Lo sung 95,6 3 Separation Trennung der Variablen 98.
6 4 Variation der Konstanten 101,6 5 Differentialgleichungen in der O konomie 105. 6 5 1 Das Volkseinkommen nach Boulding 105,6 5 2 Weitere Beispiele 107. Einige Referenzen fu r diese Vorlesung Die folgenden Bu cher scheinen akzep. tabel die Vorlesung wird sich soweit sinnvoll an den Sprachgebrauch dieser. Bu cher anlehnen Es gibt sicherlich daru berhinaus viele weitere Bu cher die. den behandelten Stoff analog abdecken, Tie99 Ju rgen Tietze Einfu hrung in die angewandte Wirtschaftsmathema. tik Braunschweig Wiesbaden Vieweg 1999, Sch00 Jochen Schwarze Mathematik fu r Wirtschaftswissenschaft. ler Band 2 Differential und Integralrechnung Herne Verlag deutsche. Wirtschafts Briefe GmbH 2000, Nol90 Walter Nollau Mathematik fu r Wirtschaftswissenschaftler Stutt.
gart Teubner 1993, Bei Defiziten in der Schulmathematik schaue man z B auch in. Sch96 Jochen Schwarze Mathematik fu r Wirtschaftswissenschaftler. Band 1 Grundlagen Herne Verlag deutsche Wirtschafts Briefe GmbH 1996. Grundlagen der Analysis,Ru ckblick auf die Schule,1 1 Bezeichnungen Notation Rechenregeln. Notation 1 1, Folgende Standardbezeichnungen und Symbole sollten aus der Schule be. kannt sein und werden auch hier verwendet werden,Mengen 1 2 3 x y z. Elemente von Mengen x A bedeutet x ist aus der Menge A. Vereinigung A B x x A oder x B,Durchschnitt A B x x A und x B.
Teilmengen A B hei t alle Elemente von A sind auch in B. Differenzmengen A B x A x 6 B,N die Menge der natu rlichen Zahlen 1 2 3. N0 0 N 0 1 2 3,Z die Menge der ganzen Zahlen 2 1 0 1 2. Q die Menge der rationalen Zahlen nz z Z n N,R die Menge der reellen Zahlen. Intervalle,a b x R a x b offene Intervalle,a b x R a x b geschlossene Intervalle. a b x R a x b halboffene Intervalle,a b x R a x b halboffene Intervalle.
2 KAPITEL 1 GRUNDLAGEN DER ANALYSIS,Wurzel x y ist die positive Lo sung von x2 y. Elementare Rechenregeln 1 2, Einige aus der Schule bekannte Rechenregeln fu rs Potenzieren. 1 2 Folgen und Grenzwerte, Die Grundlage der Analysis ist der Begriff des Grenzwertes der hier rekapituliert. werden soll,1 2 1 Definitionen und Beispiele,Definition 1 3 Folgen. Eine Folge xn x1 x2 x3 manchmal auch xn x0 x1 x2,ist eine Zuordnung.
Index n N bzw N0 Wert xn R,Beispiel 1 4,a xn 1 n n N Die Folge xn ist 1 1 1 1. b xn n n N Die Folge xn ist 1 12 13 14,c xn 1 n2 n N Die Folge xn ist 0 34 89 15 24. d xn 1 n1 n n N Die Folge xn ist,9 64 625 7776,2 2 0 2 25 2 3703 2 4414 2 4883. 4 27 256 3125,1 2 FOLGEN UND GRENZWERTE 3, Beispiel 1 5 Einige simple Berechnungen mit MuPAD 2 0 Folgen ko nnen z B als. Funktionen definiert werden,x n 1 1 n n, Der Folgengenerator dient zur Erzeugung von Folgen.
2 9 4 64 27 625 256 7776 3125,Gleitpunktna herungen werden durch float erzeugt. float x n n 1 5,2 0 2 25 2 37037037 2 44140625 2 48832. Zuna chst die formale Definition von Konvergenz und Grenzwert die etwas. abschreckend sein mag aber keine Angst im WiWi Kontext spa ter auch nicht. wirklich benutzt werden wird,Definition 1 6 Grenzwerte von Folgen. Eine Folge xn hei t konvergent wenn eine reelle Zahl x existiert. soda sich intuitiv alle Zahlen xn fu r gro es n dem Wert x beliebig. genau anna hern Formal zu jedem noch so kleinen 0 la t sich. eine reelle Zahl N angeben soda xn x gilt fu r alle Indizes. n N Anschaulich alle Werte xn weichen fu r n N maximal um. den Wert vom Grenzwert ab, Der Wert x hei t dann Grenzwert Limes der Folge xn. Schreibweise,Eine nicht konvergierende Folge hei t divergent.
Satz 1 7 Eindeutigkeit von Grenzwerten, Grenzwerte sind eindeutig d h zu xn gibt es ho chstens ein x mit der. obigen Eigenschaft,Einige einfache Beispiele mit formalem Beweis. Beispiel 1 8 Die konstante Folge xn c c c ist konvergent mit dem Grenzwert. x limn xn c denn fu r alle n gilt,xn x c c 0, wie auch immer 0 vorgegeben wird Formal zu 0 wa hle N 1. 4 KAPITEL 1 GRUNDLAGEN DER ANALYSIS, Nun ja im obigen Beispiel war sogar das formale N Kriterium sehr einfach. zu handhaben Im na chsten Beispiel wird es ein klein wenig komplizierter. Beispiel 1 9 Die Folge xn n1 ist konvergent mit dem Grenzwert x limn xn. 0 Formaler Beweis zu beliebigem 0 wa hle N 1 Dann folgt fu r alle n N. xn x xn 0 xn 1, Und noch ein Beispiel diesmal ohne formalen Beweis.
Beispiel 1 10 Sei xn cn mit einer Zahl c 1 1 also c 1 Diese Folge. konvergiert gegen den Grenzwert x limn xn 0,c 0 5 cn 0 5 0 25 0 125 0 0625 0 03125. Fu r c 1 gilt diese Aussage nicht Z B,c 1 cn 1 1 1 1 konvergiert gegen 1. c 2 c 2 4 8 16 divergiert bzw konvergiert gegen,Beispiel 1 11 Einige Berechnungen mit MuPAD 2 0. x n n 1 10,2 3 4 5 6 7 8 9 10,c c c c c c c c c c, Grenzwerte werden mit limit berechnet Die Hilfeseite dazu wird mittels limit an. Ohne Weiteres kann der Grenzwert nicht bestimmt werden da er ja von den Eigen. schaften von c abha ngt,limit x n n infinity, Warning cannot determine sign of ln c stdlib limit limitMRV.
limit c n infinity,Nehmen wir an es gilt 0 c 1,1 2 FOLGEN UND GRENZWERTE 5. assume 0 c 1,limit x n n infinity,Nehmen wir an c 1. assume c 1,limit x n n infinity,Ein Beispiel einer nicht konvergierenden Folge. Beispiel 1 12 Die Folge xn 1 n also xn 1 1 1 1 ist nicht konvergent. hat keinen Grenzwert Formaler Beweis etwas abschreckend zu 12 la t sich kein. N finden Angenommen ein Grenzwert x existiert Dann mu te N existieren mit. xn x xn 1 x,fu r alle n N Es wu rde folgen,xn xn 1 xn x x xn 1 xn x x xn 1 1. Fu r die betrachtete Folge gilt aber xn xn 1 2 fu r jedes n Widerspruch Damit. mu die Annahme es existiert x falsch gewesen sein, Man sieht die formale Definition mit und N ist eigentlich nur was fu r.
die Mathematiker das sind i A Formalisten Wie geht man stattdessen beim. praktischen Rechnen vor Es gibt Rechenregeln Damit la t sich und N. praktisch immer verbannen,Satz 1 13 Rechenregeln fu r Grenzwerte. Seien xn yn konvergierende Folgen sei c eine konstante Zahl Dann. lim c xn c lim xn,lim xn yn lim xn lim yn,lim xn yn lim xn lim yn. lim falls lim yn 6 0 gilt,n yn lim yn n,lim xn lim xn lim xn 0 vorausgesetzt. 6 KAPITEL 1 GRUNDLAGEN DER ANALYSIS, Beispiel 1 14 Wir wissen bereits da konstante Folgen xn c gegen c konvergie 20 4 01. ren und da xn n1 gegen 0 konvergiert eine Nullfolge ist Durch Einsatz der. Rechenregeln folgt unmittelbar,lim lim lim lim 0 0 0.
n n2 n n n n n n n,lim 2 lim lim 2 0 0 0,n n n n n n n n n. Alle Folgen der Form xn nk,mit positiven Potenzen k sind Nullfolgen. Manchmal mu man etwas manipulieren und umschreiben. Beispiel 1 15,2 n2 1 1 1,lim 2 lim 2 2 0 2,n n n n n n n. Hierbei wurde die Zahl 2 als konstante Folge angesehen und benutzt da wir. limn n12 0 schon kennen Man sieht mit etwas Geschick eingesetzt machen. die Rechenregeln die Berechnung von Grenzwerten oft sehr einfach Manchmal. mu man allerdings tricksen,Beispiel 1 16,n 1 n n 1 n n 1 n. lim n 1 n lim lim,n n n 1 n n n 1 n,lim lim lim q,n n 1 n n n 1 n n n 1 1 n.
n n 1 n1 1,lim lim q lim r,n n 1 1 0 1,1 2 FOLGEN UND GRENZWERTE 7. Manchmal helfen alle Rechenregeln nichts und man mu sich auf die Hilfe der. Mathematiker verlassen die z B folgende Konvergenzaussage beweisen ko nnen. Satz und Definition 1 17, Sei c eine reelle Zahl Die Folge xn 1 nc n konvergiert gegen einen von. c abha ngenden Grenzwert x c der auch als ec oder auch als exp c. bezeichnet wird Die Funktion exp c 7 ec hei t Exponential. Funktion Der spezielle Grenzwert e e1 fu r c 1 hei t Eulersche. e lim 1 2 71828, Beispiel 1 18 Einige Rechnungen mit MuPAD 2 0 die Exponentialfunktion hei t exp. limit 1 1 n n n infinity,Mit wird auf den letzten Wert zugegriffen. 2 718281829,exp 20 exp 20 0,exp 20 485165195 4, Die Exponentialfunktion kann mittels plotfunc2d gezeichnet werden Falls x vorher.
einen Wert zugewiesen bekommen hatte mu dieser zuna chst mittels delete gelo scht. plotfunc2d exp x x 2 3, Beispiel 1 19 unterja hrige und stetige Verzinsung. Ein Startkapital K0 wird fest angelegt und ja hrlich mit dem zeitlich konstanten Zinssatz. p verzinst z B p 0 05 entspricht einem Zinssatz von 5 In jedem Jahr wa chst das. Kapital um den Faktor 1 p an wenn die Zinsen am Ende des Jahres ausbezahlt. werden ganzja hrige Verzinsung d h nach einem Jahr ist K0 auf K1 K0 1 p. angewachsen, Nehmen wir an die Zinsen werden monatlich ausgezahlt mit dem monatlichen Zinssatz. p 12 und verzinseszinsen sich ebenfalls so vergro ert sich das Kapital in jedem. Monat um den Faktor 1 12 d h nach einem Jahr ist das Kapital auf. 8 KAPITEL 1 GRUNDLAGEN DER ANALYSIS, angewachsen unterja hrige Verzinsung hier monatliche Verzinsung. Bei wo chentlicher Verzinsung wa chst das Kapital pro Woche jeweils um den Faktor. 1 52 also in einem Jahr auf, Bei ta glicher Verzinsung wa chst das Kapital pro Tag jeweils um den Faktor 1 365. also in einem Jahr auf p 365, Man kann dieses Spiel weiter treiben und von stu ndlicher Verzinsung oder minu tli.
cher Verzinsung reden Im Grenzfall kontinuierliche Verzinsung la uft dies auf das. Folgende hinaus zerlege das Jahr in n gleiche Zeitabschnitte Am Ende jedes Zeitab. schnitts vermehrt sich das Kapital um den Faktor 1 np nach n Abschnitten also am. Ende des Jahres ist das Kapital auf, angewachsen Stu ndliche minu tliche seku ndliche Verzinsung hei t da man. immer kleinere Zeitabschnitte betrachtet d h den Grenzwert fu r n betrachtet. K1 lim K0 1 K0 ep, Zahlenbeispiel StartkapitalK0 1 000 DM oder Euro oder Islandkronen Zinsatz. p 0 05 5 Bei ganzja hriger Verzinsung hat man nach einem Jahr K1 1 050 bei. kontinuierlicher Verzinsung K1 1 000 exp 0 05 1 051 27. 1 2 2 Unendliches, Die unendlichen Werte sind keine reellen Zahlen sondern dienen nur als. nu tzliche Abku rzungen um gewisse Situationen zu beschreiben Wir lassen. als Grenzwerte zu,Definition 1 20 als Grenzwert, Eine Folge xn konvergiert gegen wenn die Folgenglieder. jede beliebig vorgegebene Schranke c 0 u berschreiten zu jedem. reellen c existiert eine reelle Zahl N c sodass xn c gilt fu r alle. Indizes n N c Schreibweise, Eine Folge xn konvergiert gegen wenn die Folgenglieder.
jede beliebig vorgegebene Schranke c 0 unterschreiten zu jedem. reellen c existiert eine reelle Zahl N c sodass xn c gilt fu r alle. Indizes n N c Schreibweise,1 2 FOLGEN UND GRENZWERTE 9. Beispiel 1 21 Die Folgen xn n xn n2 xn n xn 2n konvergieren gegen 24 4 01. Die Folgen xn n xn 2 n2 xn n xn 2n konvergieren gegen. Beispiel 1 22 Achtung die Folgen xn 1 n n also 1 2 3 4 5 oder. auch xn 2 n also 2 4 8 16 32 konvergieren nicht gegen oder. sie divergieren, Man darf getrost mit und rechnen wobei folgende Rechenregeln gelten. Rechenregeln fu r 1 23,Sei c eine reelle Zahl, c sign c fu r c 6 0 Hierbei ist sign c das Vorzeichen. c fu r c 1 c 0 fu r 0 c 1,c 0 fu r c 1 c fu r 0 c 1. Beispiel 1 24 Die Folge xn n3 n konvergiert gegen,lim n3 n lim n3 lim n.
Aus dem obigen Ergebnis folgt sofort das na chste Ergebnis. Beispiel 1 25 Die Folge xn n3 n konvergiert gegen 0. n n3 n lim n3 n, Beim Rechnen mit mu man aber etwas Vorsicht walten lassen Wenn man. auf eine der folgenden Situationen sto t darf man nicht weiterrechnen sondern. mu die betrachteten Grenzwerte anders ermitteln,10 KAPITEL 1 GRUNDLAGEN DER ANALYSIS. Undefinierte Ergebnisse beim Rechnen mit 1 26,0 undefiniert. undefiniert undefiniert,c undefiniert fu r c 0 und c 1. c undefiniert fu r c 0 und c 1,01 undefiniert,Beispiel 1 27 Betrachte die Folge xn n3 n.
lim n3 n lim n3 lim n undefiniert, Dies hei t nicht da kein Grenzwert existiert sondern nur da wir den Grenzwert. u ber die Rechenregeln mit nicht berechnen ko nnen Man mu in einem solchen. Fall genauer untersuchen Z B funktioniert folgendes Argument. lim n3 n lim n3 1 2 lim n3 lim 1 2,n n n n n n,Ein weiteres solches Beispiel. Beispiel 1 28 Betrachte die Folge xn n4 1,lim 2 n3 n. lim undefiniert,n n4 1 lim n4 1, Dies sagt wiederum gar nichts daru ber aus ob ein Grenzwert existiert oder nicht In. diesem Fall fu hrt wieder ein wenig Manipulation zum Erfolg. 2 n3 n n3 2 n12 2 n12,lim lim lim,n n4 1 n 4 n,n 1 14 n n 1 14n.
1 3 Reihen, Reihen sind Folgen sn in denen die Folgenglieder sn Summen sind.

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