Transformation De Fourier Sur R Universit Paris Saclay-Books Pdf

Transformation de Fourier sur R Universit Paris Saclay
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2 Jo l M ERKER Cours de L3 MFA Universit Paris Sud Orsay 2013 2014. f x fb k e2i kx, Maintenant et de mani re tr s intuitive tentons une m tamorphose de ces formules dans. lesquelles on remplace tous les symboles discrets tels que nombres entiers et sommations. par leurs contreparties continues telles que nombres r els et int grales En d autres termes. tant donn e une fonction f d finie sur R tout entier d finissons sa transform e de Fourier. en rempla ant le cercle sur lequelle on int gre par R et en rempla ant k Z par R ce. f f x e 2i x dx, Cette formule va exactement tre celle qui d finit la transform e de Fourier sur R Mais. poussons encore l analogie plus loin et traduisons aussi la formule qui exprime une fonc. tion comme tant gale s rie de Fourier en rempla ant donc la somme par une int grale. et fb k par fb nous sommes conduits une formule qui va s av rer tre vraie. f x fb e2i x d, et qui sera appel e formule d inversion de Fourier. En fait ces deux formules ne seront vraies au d but de la th orie que sous certaines. hypoth ses de d croissance l infini et une grande partie de la th orie va consister s oc. cuper rigoureusement de questions de convergence, un niveau sup rieur par exemple en Master 1 la th orie dite des distributions Sobo. lev Schwartz va clarifier consid rablement les espaces d objets math matiques plus vastes. dans lesquels une correspondance f fb s effectue de mani re parfaitement sym trique. et satisfaisante sans restriction, La th orie des s ries de Fourier et des int grales de Fourier a toujours rencontr des.
difficult s majeures et n cessit un grand appareillage math matique lorsqu il s agit de. justifier la convergence des formules Elle a engendr le d veloppement de m thodes. de sommation bien que celles ci n aient pas r ellement fournit une solution compl te. ment satisfaisante au probl me Pour la transform e de Fourier l introduction des. distributions et donc l introduction de l espace S des fonctions d croissance rapide. l infini est in vitable que ce soit explicitement ou d une mani re cach e Laurent. S CHWARTZ 1950, Toutefois il ne sera nullement question ici dans un cours l mentaire de d velopper la. th orie des distributions, 2 Premier clairage, En tout cas pour une premi re compr hension en profondeur il sera utile de faire voir. que la formule d inversion de Fourier, f x fb e2i x d. un des buts principaux du cours peut tre d montr e en partant des connaissances acquises. sur les s ries de Fourier avec des moyens simples na fs clairants dans le cas particulier. Premier clairage d apr s Elias Stein et Rami Shakarchi 3. mais assez g n ral o la fonction f Cc1 est contin ment diff rentiable support compact. Supp f 0 T0 T0 0, En effet pour tout T T0 on peut introduire la T p riodisation de f not e F qui est. alors C 1 sur R T Z Le th or me de Dirichlet assure ensuite que F est gale en tout point. sa s rie de Fourier ce qui apr s renormalisation de l intervalle en l intervalle. 0 T fournit exercice mental, Fb n e2i n T, o les coefficients de Fourier renormalis s sont.
F n F x e 2i n T, Maintenant si on d finit donc la transform e de Fourier de f sur R par. f f x e 2i x dx, dont on se convainc ais ment qu elle est continue par rapport il se trouve qu en Tn. on retrouve un facteur T1 pr s, Ainsi donc puisque F f sur l intervalle 0 T0 la formule laiss e en chemin se traduit. instantan ment en, 1 X b n 2i n x, Il reste seulement faire tendre T et reconna tre des sommes de Riemann exercice. mental pour obtenir la formule d inversion de Fourier. f x fb e2i x d, dans ce cas pr cis d j tr s g n ral o la fonction f est Cc1 au moins lorsque fb est int.
Th or me 2 1 La transform e de Fourier de toute fonction contin ment diff rentiable. support compact f Cc1 R C, f f x e 2i x dx, est continue en tant que fonction de valeurs dans C et si de plus hypoth se suppl men. taire fb est int grable au sens de Riemann sur R alors la fonction f d origine se retrouve. gr ce la formule d inversion de Fourier, f x fb e2i x d. 4 Jo l M ERKER Cours de L3 MFA Universit Paris Sud Orsay 2013 2014. Le principe de permanence formelle des relations dans les espaces fonctionnels abstraits. approxim s par des sous espaces vectoriels denses concrets nous permet d ores et d j. de soup onner que cette formule d inversion sera vraie dans des espaces plus g n raux. C est au d veloppement rigoureux de cette intuition d anticipation que sont consacr es. les sections qui suivent le point math matique d licat tant qu il faut souvent faire une. hypoth se suppl mentaire sur fb, 3 Transform e de Fourier des fonctions croissance mod r e. En admettant que l int gration d une fonction d finie sur un intervalle ferm born. a b R est connue la mani re la plus naturelle de g n raliser l int gration des fonc. tions continues sur R tout entier est de d finir, f x dx lim f x dx lim f x dx. Bien entendu cette limite peut ne pas exister comme nombre fini dans R par exemple. lorsque f x 1 x Toutefois de telles int grales convergent lorsque f d cro t suffisam. ment rapidement l infini au sens suivant, D finition 3 1 Une fonction continue f d finie sur R est dite croissance mod r e s il.
existe une constante A 0 telle que, f x 6 pout tout x R. Par exemple pour un entier n 2 la fonction 1 1 x n est clairement croissance. mod r e Autre exemple la fonction e a x avec a R exercice mental. On v rifie ais ment que l ensemble des fonctions croissance mod r e forme un R. espace vectoriel, Comme on l a souhait l int grale sur R tout entier d une fonction croissance mo. d r e existe gr ce au crit re de Riemann d apr s lequel x12 est int grable l infini Plus. g n ralement pour tout 0 fix les fonctions continues satisfaisant une in galit du. sont aussi telles que la limite, lim f x dx, existe Les r sultats qui vont suivre seraient donc tout aussi vrais pour de telles fonctions. mais nous choisissons ici 1 pour fixer les id es non ons sous forme r sum e quelques. propri t s l mentaires, Proposition 3 2 L int grale sur R des fonctions croissance mod r e satisfait. i Lin arit, a f x b g x dx a f x dx b g x dx, Transform e de Fourier des fonctions croissance mod r e d apr s Elias Stein et Rami Shakarchi 5.
ii Invariance par translation, f x h dx f x dx, iii Modification par dilatation. f x dx f x dx 0, iv Continuit translationnelle, 0 lim f x h f x dx. La preuve de cette derni re propri t est laiss e au lecteur en fait on a d j tabli pr c. demment dans le cours la continuit translationnelle pour les fonctions appartenant au vrai. espace de Lebesgue L1 R Ici en nous restreignant aux fonctions Riemann int grables. nous introduirons la m me notation, f L1 R f x dx, pour d finir la norme de Lebesgue restreinte notre sympathique espace de fonctions. croissance mod r e, D finition 3 3 La transform e de Fourier d une fonction x 7 f x croissance mod r e. est la fonction d une variable auxiliaire R d finie par. fb f x e 2i x dx, l int grale tant convergente puisque e 2i x 1.
Qui plus est l in galit triangulaire int grale qui justifie cette convergence. fb f x e 2i x dx, montre qu on a l estimation fondamentale. Proposition 3 4 La transform e de Fourier d une fonction f continue croissance mod. r e est continue, D monstration Le raisonnement d taill laiss au lecteur tudiant puisqu il est de niveau. L2 consiste en partant de l int grale d finissant la diff rence. f f f x e 2i x e 2i x dx, 6 Jo l M ERKER Cours de L3 MFA Universit Paris Sud Orsay 2013 2014. avec R petit la d couper en deux parties, o R 1 est assez grand pour que x R. soit tr s petit, Proposition 3 5 dite de Riemann Lebesgue La transform e de Fourier d une fonction.
f continue croissance mod r e sur R tend toujours vers z ro l infini. D monstration Un raisonnement astucieux dont les d tails sont une seconde fois laiss s. au lecteur tudiant consiste tablir d abord que, f f x f x 2 1 e 2i x dx. puis raisonner encore en d coupant l int grale en deux parties. Un raisonnement alternatif plus sophistiqu consiste tablir d abord la nullit de cette. limite lorsque f Cc1 R est contin ment d rivable support compact puis raisonner en. utilisant la densit v rifier soigneusement de Cc1 dans l espace des fonctions croissance. Ces trois propri t s l mentaires de fb ne garantissent toutefois pas que fb jouisse d une. quelconque d croissance mod r e l infini comme le montre un exercice ci dessous. Pour cette raison il n est absolument pas clair que l on puisse d finir l int grale noter. le signe dans l exponentielle, fb e 2i x d, laquelle va en fait servir pour inverser la transformation de Fourier puisqu on va tablir. que l on a toujours Z, f x fb e 2i x d, dans certaines circonstances o l int grale en question a un sens. Pour garantir cela on introduit classiquement un espace plus raffin de fonctions crois. sance extr mement mod r e que Laurent Schwartz a tudi dans le cadre de la th orie dite. des distributions et qui est tr s utile puisqu on peut d velopper tous les th or mes fonda. mentaux de la th orie dans cet espace, Le choix de l espace de Schwartz et motiv par un principe important d apr s lequel. la d croissance de fb l infini est intimement reli e aux propri t s de diff rentiabilit de. f et vice versa plus fb d cro t lorsque plus f doit tre de classe C k avec. k grand Un exemple simple illustrant ce principe appara t dans un exercice ci dessous. Bien entendu on aura remarqu que cette relation entre f et fb est r miniscente d une. relation similaire entre la r gularit d une fonctions sur le cercle unit T R 2 Z et la. d croissance de ses coefficients de Fourier, Transformation de Fourier dans l espace de Schwartz d apr s Elias Stein et Rami Shakarchi 7.
Exercice 1 On se propose ici d tablir une version conomique de la formule d inversion de Fourier. Soit f une fonction de classe C 1 sur R support compact contenu dans l intervalle M M avec M. 0 et dont la transform e de Fourier Fb est croissance mod r e i e satisfait fb 6 constante 1 2. a Pour L fix avec L 2 M en associant f une fonction L p riodique en posant L en introduisant. les quantit s fb k f e ik 2, pour k Z montrer que l on a. f x fb k e2i k x x 6 L, b Montrer que si une fonction g est continue et croissance mod r e on a. g d lim g k, c Conclure que l on a bien la formule d inversion de Fourier dans cette circonstance. f x fb e2i x d, Exercice 2 Cet exercice illustre le principe d apr s lequel la d croissance de fb l infini est reli e la. r gularit de f, a Soit f une fonction croissance mod r e f x 6 A 1 x2 sur R avec A 0 dont la transform e.
de Fourier fb est continue et satisfait, pour un certain r el 0 1 En admettant que la formule d inversion de Fourier. f x fb e2i x d, est alors satisfaite montrer que f est C h ld rienne savoir qu elle satisfait une estim e uniforme du type. f x h f x 6 M h x h R, avec une constante M 0, b Soit f une fonction continue sur R qui s annule pour x 1 satisfait f 0 0 et est gale. dans un petit intervalle 0 0 avec 0 0 V rifier que f est croissance mod r e mais que f ne l est. pas et plus pr cis ment montrer qu il n existe pas de r el 0 tel que. fb O 11 lorsque, 4 Transformation de Fourier dans l espace de Schwartz. D finition 4 1 L espace de Schwartz sur R est l ensemble des fonctions f de classe C. valeurs dans C telles que f et toutes ses d riv es f 0 f 00 f sont rapidement. d croissantes au sens o, sup x k f x pour tous entiers k 0.
8 Jo l M ERKER Cours de L3 MFA Universit Paris Sud Orsay 2013 2014. On notera alors, cet espace qui renforce consid rablement l exigence de d croissance mod r e l infini. On v rifie exercice que S R est un C espace vectoriel De plus on se convainc. exercice mental que S R est stable par diff rentiation et par multiplication monomiale. f x S R f 0 x S R et x f x S R, Lemme 4 2 Toute fonction f S R dans l espace de Schwartz jouit des propri t s. d int grabilit, x f x L1 R x k f x dx, pour tous entiers k N. D monstration Appliquons la d finition aux entiers k 2 et. sup x k 2 f x Mk 2, Alors l int grale en question dont on excise la partie videmment finie x 61. major e par la quantit, x f x dx 6 2 Mk 2, qui manifestement est elle aussi finie.
Exemple 4 3 La fonction e x d cro t tr s vite l infini mais elle n est pas diff rentiable. en 0 Mieux qu elle l exponentielle gaussienne, appartient l espace de Schwarz puisqu on v rifie par r currence que pour tout entier. 0 il existe un polyn me P x de degr 6 tel que, et ceci montre imm diatement petit yoga mental que e x S. Cette gaussienne joue un r le vraiment central dans la th orie de la transformation de. Fourier et aussi en probabilit s et en physique, De m me pour tout r el a 0 la fonction e a x appartient aussi S R et dans. quelques instants nous allons normaliser la gaussienne en choisissant a. Exemple 4 4 Une autre classe importante de fonctions appartenant l espace de Schwartz. est constitu e des fonctions lisses support compact. Transformation de Fourier dans l espace de Schwartz d apr s Elias Stein et Rami Shakarchi 9. D finition 4 5 La transform e de Fourier d une fonction f S R est la fonction d finie. fb f x e 2i x dx, Quelques propri t s initiales simples de la transformation de Fourier peuvent tre ras. sembl es dans un premier nonc l mentaire Pour abr ger nous utilisons la notation. pour signifier que fb est la transform e de Fourier de f. Proposition 4 6 Propri t s l mentaires Si f S R appartient l espace de. de Fourier tendue aux espaces g n raux Lp Rd et les raisonnements plus d licats que nous aurons alors conduire dans ce contexte appara tront transparents et limpides pour le plus grand bien de cette si pr cieuse intuition de compr hensionque chacun de nous doit ressentir interroger et cultiver en lui m me 1 Naissance par analogie de la transform e de Fourier La th orie

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