Teoria Qu Antica Do G As Ideal Monoat Omico Segundo Tratado-Books Pdf

Teoria qu antica do g as ideal monoat omico segundo tratado
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114 Einstein, que A 0 Isto implica que o para metro e A se que a substa ncia condensada e o ga s ideal satu. na Eq 18b va lida nestas circunsta ncias deve ficar en rado possuem por mol a mesma func a o de Planck. tre 0 e 1 De 18 segue consequentemente que o nu mero S E pVT 8 Para a substa ncia condensada. de mole culas deste tipo de ga s para um dado volume V desaparece pois S E e V desaparecem um a um 9. na o pode ser maior que6 Para o ga s saturado tem se para A 0 de acordo. com 12 e 13 10, 2 m T 3 2 V X 3 2, n 24 X s E, h3 S lg 1 e 25. O que acontecera pore m se para esta temperatura eu A soma pode ser escrita como uma integral e re. permitir que a densidade n V da substa ncia aumente arranjada por integrac a o parcial Obte m se primeira. ainda mais por exemplo atrave s de uma compressa o mente. isote rmica 2, Sustento neste caso que um nu mero de mole culas X Z cs 3 1. e T 2 cs 3, com a densidade total sempre crescente passa s 2 ds. 0 cs 3 3 T, para o primeiro estado qua ntico estado sem energia s 1 e T.
cine tica enquanto as mole culas restantes distribuem. ou segundo 8 11 e 15 11, se de acordo com o valor do para metro 1 Esta. afirmac a o conduz assim a conclusa o que algo seme 2 2 E pV. ns E s ds 26, lhante a compressa o isote rmica de um vapor acima do 3 0 3 T T. volume de saturac a o acontece Uma separac a o surge. parte do ga s se condensa o resto permanece como De 25 e 26 segue portanto que para o ga s ideal. um ga s ideal saturado A 0 1 7 saturado, Que ambas as partes do ga s encontram se de fato E pV. em equil brio termodina mico pode ser visto mostrando S. e a constante de Boltzmann kB A maneira pela qual Einstein chega a estas equac o es no primeiro artigo e ana loga a quela utilizada por Bose. partindo do volume da hiperesfera do espac o de fase formado por todos os estados cuja energia s p2x p2y p2z s 2m seja tal que E. 1a V 4 3 2mE, Einstein deduz usando o me todo de contagem de Bose o nu mero z s de ce lulas que pertencem a uma regia o infinitesimal de energia E e. chega a Eq 2a reproduzida no 7 mais adiante onde ele discute detalhadamente a questa o da contagem estat stica Para manter o v nculo. de conservac a o no nu mero total de part culas Einstein introduz um potencial qu mico Em notac a o corrente ter amos s kB T e. portanto A kB T Na continuac a o do texto Einstein introduz a grandeza e A ou seja a fugacidade. 6 Aqui se encontra o ponto chave da pole mica Einstein Uhlenbeck que se arrastou por 13 anos como o pro prio Einstein afirma em. suas anotac o es no trabalho anterior Pelas considerac o es feitas no 4 a grandeza e A por no s representada por e uma medida da. degeneresce ncia do ga s Podemos enta o transformar as somas 18 e 19 em duplas somato rias onde podemos agora transformar. a somato ria em s numa integral mudanc a esta justifica vel em func a o da lenta variac a o da exponencial em s Einstein considera que. fazendo E E suficientemente pequeno e poss vel tomar V suficientemente grande de tal modo a tornar z s praticamente infinito Ele. c s T simplesmente revertendo a fo rmula da soma de uma. parte assim da Eq 18 e chega a Eq 18b ou seja n s e P R. progressa o geome trica surgindo assim uma soma em e tomando em seguida o limite de s cont nuo na forma s ds Essa. transformac a o e encontrada nos livros texto de meca nica P estat stica R onde as somato rias diferentemente da notac a o einsteniana sa o. comumente expressas em termos do momento p tal que p V h3 d3 p Feita a integral chega se a Eq 24 A somato ria restante. e um caso particular da ce lebre func a o de Lerch z m a 0 a m para o caso z 1 a 0 e 6 0 e recebe o nome de. func a o zeta de Riemann m Na fo rmula temos 3 2 2 612. 7 Este e o para grafo mais importante do texto aquele no qual Einstein preve a existe ncia da condensac a o Ele usa aqui o verbo. behaupten v t afirmar manter sustentar cf to affirm to maintain to claim A u ltima opc a o pareceu nos melhor traduzir a forc a. da expressa o em alema o Na seque ncia ele utiliza a frase eine mit der Gesamtdichte stets wachsende Zahl von Moleku len que resume. bem o sintetismo do alema o Optamos aqui por manter a traduc a o mais pro xima do original embora ela possa parecer inicialmente um. pouco rebuscada, 8 Os Potenciais de Massieu Planck sa o obtidos na termodina mica por transformac o es de Legendre da entropia O potencial de Planck.
ao qual Einstein aqui se refere foi introduzido por Max Planck em seu livro Vorlesungen U ber Thermodynamik W de Gruyter Berlin. 1904 Treatise on Thermodynamics Dover NY 1945, 9 A parte condensada da substa ncia na o requer qualquer volume adicional uma vez que ela na o contribui para. a pressa o AE, 10 As equac o es a s quais Einstein se refere sa o. 12 S s lg 1 e c, que comparada ao resultado d T dS levou o a concluir depois de alguma a lgebra que. onde c e definido por 20 e lg e o logar tmo neperiano na notac a o de Einstein. 11 As equac o es sa o, 11 ns e 1s 1, Teoria qua ntica do ga s ideal monoato mico 115. ou como exigido para a coexiste ncia do ga s ideal satu elementar e dado por. rado com a substa ncia condensada, z 2 2m 3 E 2 E 2a.
Seja o estado do ga s definido macroscopicamente, Obtemos assim a lei fornecendo se o nu mero n de mole culas que se encon. Segundo a equac a o de estado do ga s ideal aqui de tram em cada uma destas regio es infinitesimais Deve. senvolvida ha para cada temperatura uma densidade se calcular o nu mero W de realizac o es poss veis pro. ma xima de mole culas em agitac a o Ao superar se esta babilidade de Planck do estado assim definido. densidade as mole culas em excesso passam para um, estado sem movimento condensam se sem forc as. a Segundo Bose, atrativas O curioso deste resultado esta no fato. Um estado e definido microscopicamente especifi, que o ga s ideal saturado representa tanto o estado. cando se quantas mole culas n encontram se em cada. de densidade ma xima poss vel de mole culas em movi. ce lula complexos 13 O nu mero de complexos para a. mento como tambe m aquela densidade para a qual o, e sima regia o infinitesimal e enta o14.
ga s se encontra em equil brio termodina mico com o. condensado Para o ga s ideal na o existe assim um, ana logo ao vapor supersaturado 28. Atrave s da produto ria sobre todos as regio es infini. 2 Comparac a o da teoria do ga s aqui tesimais obtemos o nu mero total de complexos de um. desenvolvida com aquela que segue estado e disto pelo teorema de Boltzmann a entropia. da hipo tese da independe ncia es, tat stica rec proca das mole culas. A teoria da radiac a o de Bose e a minha analogia do ga s n z lg n z. ideal foi colocada a objec a o por parte do senhor Ehren. fest e colegas segundo a qual nestas teorias e sem que. n lg n z lg z 29a, tenhamos dado a devida atenc a o a estes fatos os quanta. e mole culas na o sa o tratados como entidades estatis Que neste me todo de ca lculo a distribuic a o das. ticamente independentes entre si Esta objec a o esta mole culas por entre as ce lulas na o tenha sido tratada. completamente correta Se tratarmos os quanta como como sendo estatisticamente independente e fa cil en. estatisticamente independentes um dos outros em sua tender Isto esta relacionado ao fato que segundo. localizac a o chegar se a a equac a o de radiac a o de Wien a hipo tese da distribuic a o independente de mole culas. ao tratarmos as mole culas de modo ana logo chegar individuais pelas ce lulas os casos aqui chamados de. se a na equac a o do ga s ideal cla ssico mesmo que se complexos na o deveriam ser vistos como casos de. proceda no restante da mesma maneira que Bose e igual probabilidade A contagem destes complexos. eu fizemos Quero aqui confrontar ambos os tratamen de diferentes probabilidades na o reproduziriam sob. tos 12 dos gases com o intuito de tornar clara a diferenc a estrita independe ncia estat stica das mole culas a en. e poder de maneira conveniente comparar nossos re tropia correta A fo rmula expressa assim indireta. sultados com aqueles da teoria de mole culas indepen mente uma certa hipo tese a respeito de uma influe ncia. dentes mu tua entre mole culas de cara ter ate o momento mis. De acordo com ambas as teorias o nu mero z de terioso e que conduz a exatamente a mesma proba. ce lulas contidas na regia o infinitesimal E de ener bilidade estat stica que dos casos aqui chamados de. gia da mole cula daqui por diante denominada regia o complexos. 12 No original Betrachtungen s f pl considerac o es tratamentos cf approaches treatments considerations. 13 No original alema o Komplexionen na terminologia corrente microestados O termo foi introduzido por Boltzmann em seu tratado. de 1877 sobre a interpretac a o probabil stica da segunda lei da termodina mica Boltzmann supo e para um ga s ideal que a energia. cine tica de cada mole cula pode ter valores discretos na forma 0 2 p A distribuic a o de estados e definida de acordo como o. p tuplo n0 n1 n2 np onde nk representa o nu mero de part culas com energia k A energia cine tica e nu mero total de part culas. e fixado a priori o que impo e condic o es sobre as respectivas distribuic o es de n s A cada um destes n tuplos Boltzmann da o nome de. complexos e o nu mero de complexos que corresponde a um mesmo estado macrosco pico do sistema e dado para part culas distingu veis. pelo nu mero de permutac o es NP n n0 n1 np, 14 Esta equac a o e a que hoje aparece nos livros texto de meca nica estat stica e difere daquela usada por Bose Einstein na realidade. usou a mesma fo rmula que Bose em seu primeiro artigo mas para rebater a cr tica de Ehrenfest usa aqui uma deduc a o alternativa dos. poss veis arranjos, 15 Ou seja o que Einstein antecipa aqui de modo intuitivo e a correlac a o entre part culas que surge devido a simetrizac a o da func a o.
de onda E interessante notar que nesta passagem ela usa um enfa tico eben die gleiche Wahrscheinlichkeit que teria no ingle s the very. same probability uma boa traduc a o A expressa o aqui traduzida como conduz no sentido de acarreta necessariamente corresponde. no original ao verbo bedingen cf to entail, 116 Einstein. b Segundo a hipo tese da independe ncia estat stica das E E n const. mole culas X, Um estado e definido microscopicamente especifi n n const. cando se para cada mole cula a ce lula na qual ela se. No caso a obte m se, encontra complexo Quantos complexos pertencem a. um estado macrosco pico definido Posso distribuir um z. nu mero espec fico n de mole culas de e E 1, que a na o ser por uma questa o de notac a o concorda. z n com 13 No caso b obte m se, diferentes maneiras pelas z ce lulas da e sima regia o n z e E 30b.
elementar Se a distribuic a o das mole culas pela regia o. elementar for de alguma maneira especificada previa Em ambos os casos T 1. mente enta o existe ao todo Ale m disso ve se que do caso b segue a distribuic a o. Y de Maxwell A estrutura qua ntica na o se faz aqui per. z n cept vel ao menos no caso de um ga s de volume infini. tamente grande Ve se tambe m facilmente que o caso. diferentes maneiras de distribuir as mole culas por to b e incompat vel com o teorema de Nernst16 Neste. das as ce lulas Para obter o nu mero de complexos no caso enta o para calcular o valor da entropia no zero. sentido acima definido deve se multiplicar esta con absoluto de temperatura e preciso calcular 29c para. tribuic a o pelo nu mero este valor de T Nela todas as mole culas encontrar. se a o no primeiro estado qua ntico Temos assim que. n 0 para 6 1, de poss veis arranjos de todas as mole culas no intervalo. elementar para um dado n Do princ pio de Boltz, mann resulta assim para a entropia a expressa o z1 1. X A Eq 29c nos da enta o para T 0, S n lg n n lg z n lg n 29b. S n lg n 31, O primeiro termo do lado direito desta expressa o De acordo com o me todo b ha enta o uma contradic a o. na o depende da escolha da distribuic a o macrosco pica com aquilo que diz o teorema de Nernst Contrari. mas ta o somente do nu mero total de mole culas amente o me todo a esta em conformidade com ele. Na comparac a o das entropias de diferentes estados como se pode ver facilmente se considerarmos que. macrosco picos do mesmo ga s este termo desempenha o segundo este me todo ha apenas um u nico complexo. papel de uma constante trivial que podemos desprezar dispon vel W 1 no zero absoluto A abordagem. E devemos despreza la se quisermos chegar como e b conduz de acordo com o que aqui foi mostrado ou. usual na termodina mica a uma entropia que seja para a uma violac a o do teorema de Nernst ou a uma vi. um dado estado interno do ga s proporcional ao nu mero olac a o da exige ncia que a entropia seja proporcional. de mole culas Temos enta o que colocar ao nu mero de mole culas para um dado estado interno. X do ga s Por estas razo es acredito que ao me todo a. S n lg z lg n 29c, i e a abordagem estat stica de Bose deve ser dada.
a prefere ncia embora esta prefere ncia face a quelas de. Para gases justifica se o abandono do fator n em W outros me todos na o possa ser corroborada a priori 17. levando se em conta que complexos gerados pela sim Este resultado representa em si um sustenta culo para. ples troca de mole culas ide nticas na o sa o distintos e uma concepc a o da profunda interrelac a o entre radiac a o. portanto devem ser considerados uma u nica vez nos e ga s na medida em que a mesma abordagem estat stica. ca lculos que conduz a fo rmula de Planck estabelece quando. Resta nos agora em ambos os casos maximizar S aplicada a gases ideais a concorda ncia da teoria do ga s. Na teoria do g as ideal parece nos obvia a imposi c ao de que volume e temperatura de uma quantidade de g as possam ser especi cados arbitrariamente A teoria de termina ent ao respectivamente a energia e a press ao Por em o estudo da equa c ao de estado contida nas Eqs 18 19 20 e 21 mostra que para um dado numero n de mol eculas e uma dada temperatura T o volume V n

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