R L Ro Drigues And A N V-Books Pdf

R L Ro drigues and A N V
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R L Rodrigues and A N Vaidya 375, mas evid encias fenomenol ogicas a baixas energias em qu antica aborda entre outros t opicos a constru c ao de. mec anica qu antica n ao relativ stica supersim e 8 Na potenciais isoespectrais com o espectro de energia con. refer encia 7 o leitor pode encontrar uma demonstra c ao hecido por Cooper Khare e Sukhatme 23. de que no caso da SUSI MC com N 1 uma vari avel Na constru c ao de uma teoria SUSI usa se as. de Grassmann e uma u nica supercoordenada comu vari aveis anti comutantes cujo quadrado e zero de. tante n ao podemos introduzir um termo de potencial nominadas de grassmannianas 24 Para a super. na super a c ao A SUSI MQ tem sido aplicada principal part cula relativ stica no espa co tempo quadridimen. mente como t ecnica de resolu c ao espectral para potenci sional de Minkowski D 4 3 1 que signi ca. ais invariantes de forma 9 e para se construir novos po tr es dimens oes espaciais e uma dimens ao temporal. tenciais iso espectrais em mec anica qu antica 10 Re adotam se etapas semelhantes ao procedimento que ire. centemente um dos autores construiu uma nova classe mos considerar a seguir 25. de potenciais no contexto da mec anica qu antica unidi Este trabalho est a organizado da seguinte maneira. mensional e da teoria de campos bidimensional 1 1 na se c ao II introduziremos algumas propriedades das. dimens oes 11 vari aveis de Grassmann e implementaremos a SUSI N. 2 em mec anica cl assica Na se c ao III consider, Os modelos hamiltonianos da SUSI MC N 1 e aremos a quest ao do v nculo de segunda classe na quan. N 2 em 0 1 dimens ao cont em v nculos 5 cuja tiza c ao da super part cula e construiremos o modelo. primeira quantiza c ao via o m etodo de Dirac foi efe supersim etrico de Witten em mec anica qu antica n ao. tivada por Barcelos et al 12 Recentemente foi relativ stica e na se c ao IV elaboraremos as discuss oes. mostrada a conex ao da SUSI MQ com a algebra e conclus oes. de Wigner e Heisenberg super realizada para os os, ciladores qu anticos de Wigner em termos de operadores II Supersimetria em mec anica cl assica com. bos onicos e fermi onicos 13 14 a o ptica qu antica SUSI N 2. 15 os superpotenciais singulares 16 os potenciais, n ao polinomiais 17 e com potenciais de fases equiva. lentes 18 Gendenshtein e Krive 19 zeram um ex Para a SUSI N 1 com uma u nica supercoor. celente trabalho de revis ao mostrando as aplica c oes da denada comutante n ao podemos introduzir um poten. SUSI em f sica qu antica com potenciais invariantes de cial V pois entre outros motivos levaria a n ao con. forma f sica estat stica e f sica nuclear Eles abordaram sist encia da super a c ao tornando a de dimens ao mpar. tamb em os aspectos de quebra da supersimetria e a 7 Consideraremos a an alise da superpart cula inter. conex ao com a teoria de Gauge completando a revis ao agindo com uma energia potencial conservativa U a. Lahiri Roy e Bagchi 20 consideraram a quantiza c ao qual no formalismo lagrangeano e usual denomin a la. com v nculos de uma lagrangeana SUSI e tamb em simplesmente de potencial Assumiremos que a SUSI. as aplica c oes para os seguinteharm onico isotr opico o ocorre a D 1 0 1 com supersimetria estendida. atomo de hidrog enio e o potencial de Morse Lahiri et N 2 Neste caso teremos duas vari aveis anticomu. al discutiram tamb em a conex ao da SUSI com o acopla tantes Iniciaremos com o tratamento cl assico e depois. mento de spin orbita Citamos tamb em um curso so efetuaremos a primeira quantiza c ao via o m etodo de. bre a SUSI MQ e a para supersimetria din amica min quantiza c ao can onica com v nculos Em geral a SUSI. istrado por Luc Vinet na V Escola de Ver ao Jorge com N 1 e denominada de supersimetria estendida. Andr e Swieca se c ao Teoria de Campos e Part culas No caso N 2 o elemento de linha e dado por. 21 H a tamb em o excelente trabalho de Haymaker e, Rau mostrando entre outras aplica c oes a conex ao da.
SUSI com a part cula relativ stica de Dirac 22 O tra. balho de revis ao mais recente sobre SUSI em mec anica. dt i 1 d 1 i 2 d 2 invariante Jacobiano 1 1, 376 Revista Brasileira de Ensino de F sica vol 19 no 4 dezembro 1997. o qual e invariante sob as seguintes transforma c oes de transla c ao no super espa co. 1 01 1 1 2 02 2 2 t t0 t i 1 1 i 2 2 2, onde 1 e 2 s ao grandezas anticomutantes grassmannianas e constantes reais O i em 1 serve para garantir o. car ater real do tempo, As vari aveis de Grassmann reais possuem as seguintes propriedades. i j i j j i 0 1 2 0 2 2 3, Elas satisfazem as seguintes integrais de Berezin. d 1 d i i 2 d i 0 i 1 2, onde e a derivada parcial em rela c ao a i Al em do mais note que a derivada grassmanniana satisfaz a seguinte.
rela c ao de anti comuta c ao, j j j ij i j 1 2, onde ij e o delta de Kronecker isto e se i j ii 1 se i 6 j ij 0. De um modo geral uma fun c ao de um conjunto de duas vari aveis mpares reais 1 2 pode ser de nida. pela seguinte expans ao formal, f f0 f f3 1 2, Note que na segunda equa c ao acima est a atuando pelo lado direito o que denomina se de regra de derivada. a direita Quando atuar pelo lado esquerdo da derivada parcial chama se de regra de derivada a esquerda. Neste trabalho estamos adotando a regra de derivada a direita ou seja 1 2 1 2 1 1 2 2. As vari aveis de Grassmann muitas vezes simpli cam os c alculos Por exemplo a exponencial de 1 resulta. exatamente na soma da unidade com 1 De nindo as coordenadas grassmannianas complexas e o conjugado. complexo de em termos das vari aveis anticomutantes reais i i 1 2 e os par ametros constantes grassmann. a transforma c ao SUSI torna se, 0 0 t t0 t i 8, Neste caso obt em se as seguintes rela c oes de anti comuta c oes. A expans ao de Taylor para a supercoordenada escalar real de natureza comutante em termos de e. ser escrita como, R L Rodrigues and A N Vaidya 377. t q t i t i t A t 10, A partir da lei de tranforma c ao in nitesimal desta supercoordenada a saber.
onde t t e os geradores da SUSI, Q i t Q i t 12, a supercarga Q n ao e o complexo conjugado da supercarga Q obtemos as respectivas leis para as componentes. bos onicas pares q t A e fermi onicas mpares t t, q t if t t g A t t dtd f 13. t fq t iAg t fq t iAg 14, as quais misturam se como no caso da SUSI N 1 7 Obtemos estas leis de transforma c ao comparando a lei SUSI. em sua forma in nitesimal dada pela equa c ao 11 com a varia c ao obtida diretamente da supercoordenada. isto e q t i i A t A super a c ao mais geral com SUSI N 2 invariante sob estas. transforma c oes no superespa co t e de dimens ao par e de nida pela seguinte integral tripla. S dtd d f 12 D D, U g D i t 15, onde D e a derivada covariante D i t e e constru da de modo. que D Q 0 D Q, e U e uma fun c ao polinomial da supercoordenada Multiplicando esta super a ca o.
covariante SUSI por 1 obt em se aquela da refer encia 12 no entanto as derivadas covariantes s ao diferentes da. nossa de ni c ao De fato a SUSI MC e um jogo de conven c oes pois poder amos ter constru do outras derivadas. covariantes anti comutantes com as respectivas supercargas As derivadas covariantes da supercoordenada. t resultam em, D i t i A i t q, i t i A i q, D D q iA iA q. q 2 A2 i i 16, Expandindo em s erie de Taylor o potencial U e mantendo at e a primeira ordem em porque somente. estes termos sobrevivem ap os integrarmos nas vari aveis garssmannianas complexas e obtemos. U U 0 2 U 00, A U 0 12 U 00 21 U 00, fAU 0 U 00 g 17. onde as derivadas U 0 e U 00 s ao tomadas a 0 de modo que resultam nos em fun c oes exclusivamente. da coordenada par q t Substituindo esta expans ao de U e as derivadas covariantes D e D vemos que a. super a c ao e a lagrangeana com SUSI N 2 em termos das componentes da supercoordenada tornam se. S q 21 q 2 A2 i i 2AU 0 q 2 U 00 q dt Ldt, 378 Revista Brasileira de Ensino de F sica vol 19 no 4 dezembro 1997. onde temos efetivado as integrais sobre as vari aveis de Grassmann Note que a componente bos onica A n ao e uma. vari avel din amica pois n ao existe nenhum termo na lagrangeana contendo derivada temporal dela Neste caso. usando a equa c ao de Euler Lagrange para A, d L L A U 0 q 0 A U 0 q 19.
o que nos permite uma representa c ao da lagrangeana sem depender de A como ser a visto logo abaixo Por isso. esta componente e denominada de componente auxiliar Em geral isto ocorre com a componente que aparece no. termo de maior ordem da expans ao da supercoordenada t nas vari aveis anticomutantes e De 19 em. 18 e f acil de ver que a lagrangeana SUSI pode ser escrita como. L 12 q 2 2 U 0 q 2 2U 00 q i, Esta lagrangeana e a mesma obtida atrav es da regra de derivada a esquerda Ela descreve uma part cula super. sim etrica n ao relativ stica onde q q t e a vari avel bos onica t e a vari avel fermi onica y e d dt t. Devemos enfatizar tamb em que e n ao s ao operadores mas sim vari aveis cl assicas fermi onicas satisfazendo a. algebra de Grassmann 0 e, Por constru c ao a hamiltoniana can onica da SUSI N 2 e dada por. Hc q L L L 1 2 0 2 00, q t t L 2 p U q U q 21, a qual cont em um termo de potencial misto composto de uma fun c ao da vari avel din amica de posi c ao da part cula. U 00 q e de vari aveis de Grassmann Ap os a quantiza c ao desta hamiltoniana veremos que este termo de. potencial misto nos proporcionar a a intera c ao SUSI MQ envolvendo uma parte bos onica e uma parte fermi onica. III Mec anica qu antica supersim etrica pode ser implementada consistentemente no formal. ismo de supercoordenada via o procedimento de quan. tiza c ao can onica de Dirac De acordo com o m etodo. A Quantiza c ao Can onica no Super Espa co de Dirac os par enteses de Poisson fA B g devem ser. substitu dos por par enteses de Poisson modi cados de. A supersimetria em mec anica qu antica formulada nominados de par enteses de Dirac fA B gD os quais. inicialmente por Witten 3 pode ser alcan cada pela entre duas vari aveis din amicas A e B s ao dados por. primeira quantiza c ao da hamiltoniana can onica acima. Mas devemos tomar certos cuidados ao se implemen fA B gD fA B g fA igCij 1f j B g 22. tar o procedimento de quantiza c ao can onica pois h a. v nculos embutidos neste modelo 5 12 Salomon onde i denotam os v nculos de segunda classe Estes. son et al F Cooper et al e Ravndal n ao consider v nculos t em os par enteses de Poisson n ao nulos que. aram os v nculos 6 No entanto eles zeram uma es de nem a matriz C. colha adequada para a representa c ao dos operadores Cij f i j g 23. fermi onicos correspondentes as coordenadas mpares. anti comutantes e A quest ao de tais v nculos foi que Dirac mostrou ser anti sim etrica e n ao singular e. abordada atrav es do m etodo de Dirac 2 por Barcelos portanto invers vel Seguindo esta t ecnica obt em se. et al 12 Eles mostraram que a primeira quantiza c ao 12. fq q gD 1 f gD i e fA q gD q, R L Rodrigues and A N Vaidya 379. Todos os demais par enteses de Dirac s ao nulos Na pr oxima etapa implememtaremos o procedimento de quantiza ca o. can onica Em tal procedimento devemos substituir os par enteses de Dirac por comutador ou anticomutador De. acordo com o teorema de spin estat stica os operadores bos onicos satisfazem a rela c ao de comuta c ao e os operadores. fermi onicos satisfazem a rela c ao de anticomuta c ao Conseq uentemente denotamos q e como sendo os operadores. bos onico e fermi onico respectivamente em mec anica qu antica correspondentes as vari aveis cl assicas q e Neste. caso efetuamos as substitui c oes dos par enteses de Dirac pelo seguinte comutador e anticomutador. fq q gD 1 1i q q 1 q q q q q q i, f gD i 1i i 1 25.
Note que ap os a substitui c ao das vari aveis cl assicas seguinte anticomutador 1i A representa c ao. por operadores preservamos o que foi obtido ou seja matricial dos operadores fermi onicos ser ao as mesmas. o lado direito da equa c ao 24 n ao deve ser alterado consideradas na pr oxima subse c ao. Vale a pena salientar que na refer encia 12 aparece um Devemos dizer que o objetivo principal deste tra. sinal negativo no par entese de Dirac para as vari aveis balho n ao e analisar os aspectos da quantiza c ao de sis. fermi onicas ou seja f gD i Isto aconteceu temas com v nculos mas entendemos que foi necess ario. porque eles usaram a regra de deriva c ao a esquerda a s ntese apresentada nesta se c ao Para maiores detal. Al em do mais note que o par entese de Dirac e n ao nulo hes sugerimos ao leitor buscar subs dios nas refer encias. enquanto que o par entese de Poisson e fracamente nulo citadas em 5 12. o que e denotado por, f g 0 26 B O Modelo SUSI de Witten. e por sua vez n ao tem correspond encia com o antico Nesta subse c ao veremos o efeito dos v nculos sobre. mutador Por isso foi necess ario a implementa c ao do a hamiltoniana can onica na vers ao quantizada A rep. m etodo de quantiza c ao Dirac No caso da refer encia resenta c ao fundamental dos operadores fermi onicos em. 12 o par entese de Dirac deve ser substitu do pelo D 1 0 1 e dada por. 0 0 0 1 12 2 3 27, onde 3 e a matriz diagonal de Pauli com os elementos 1 e 1 na diagonal principal Por outro lado na representa c ao. de coordenada os operadores de posi c ao e de momento linear satisfazem a rela c ao de comuta ca o can onica x p x. i e t em as seguintes representa c oes, x q t x t p x mx t d i d. Substituindo 27 em 21 e de nindo, W x U 0 x dU, a hamiltoniana can onica torna se o seguinte operador matricial denominado de modelo hamiltoniano de Witten 3. d2 1 fW 2 x W 0 x g H 0, H 21 dx 30, onde o setor de hamiltoniano H pode ser colocado em termos de operadores diferenciais de primeira orA.
v ari av eis de Grassmann e implem en taremos a SUSI N 2 em mec anica cl assica Na se c ao I I I consider aremos a quest ao do v nculo de segunda classe na quan tiza c ao da sup er part cula e construiremos o mo delo sup ersim etrico de Witten em mec anica qu an tica n ao relativ stica e na se c ao IV elab oraremos as discuss oes

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