Non Esiste La Primitiva Di E Math Uzh Ch-Books Pdf

NON ESISTE LA PRIMITIVA DI e math uzh ch
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2 CAMILLO DE LELLIS, che ero troppo stanco per un compito sicuramente impegnativo Ho invece. confessato la mia ignoranza e ammesso che la mia sicurezza era basata solo. sul sentito dire ma ho anche promesso che un giorno avrei soddisfatto la. sua curiosita Ci provero con questa nota, Prima pero di immergerci nell analisi del problema vorrei ripercorrere. brevemente la sua storia Come suggerisce il titolo il primo a dimostrare. l impossibilita di esprimere una qualsiasi primitiva di ex in termini di fun. zioni elementari e stato Liouville in 7 La dimostrazione che riportiamo. qui non e pero la sua ma piuttosto una rielaborazione dovuta a Rosenli. cht in 15 e basata su precedenti lavori di Ostrowski Tale dimostrazione e. essenzialmente di natura algebrica e usa svariati concetti che hanno la lo. ro origine nella Teoria di Galois anche se contrariamente a quanto alcuni. erroneamente affermano il Teorema di Liouville non puo essere considerato. un risultato di Teoria di Galois perche i gruppi di Galois non entrano mai. In ogni caso vista l indubbia vicinanza ho pensato che fosse una buona. idea per una conferenza in un convegno di aggiornamento organizzato dal. Canton Ticino per gli insegnanti della scuola superiore un convegno che. verteva appunto sulla Teoria di Galois Come a volte purtroppo mi accade. forse ho puntato su un argomento troppo ambizioso e ostico E inoltre. opinabile che il materiale della conferenza e di questa nota si presti ad essere. usato nella scuola superiore se non per scaldare qualche aula fredda Mi. scuso pertanto con i docenti che si sono pazientemente sorbiti l ora e mezzo. di miei deliri alla lavagna e spero che almeno la bellezza del risultato di. Liouville non si sia del tutto persa, Per quanto le dimostrazioni e le discussioni riportate di seguito si basino. su alcuni strumenti matematici alquanto avanzati ho cercato di fornire una. spiegazione intuitiva per tutto e credo che anche senza possedere conoscenze. profonde il lettore che abbia, un infarinatura di calcolo infinitesimale ovvero sappia derivare e. un minimo di familiarita con i numeri complessi, una vaga conoscenza degli assiomi dei campi commutativi.
e dimestichezza con il calcolo dei polinomi, puo assorbire da queste pagine le idee piu importanti Il lettore che cono. sce bene il calcolo infinitesimale e ha una discreta familiarita con l algebra. astratta apprezzera anche le svariate sottigliezze degli argomenti piu intri. cati Infine se conosce anche l analisi complessa potra comprendere quei. dettagli secondo me marginali che pero rendono le considerazioni del tutto. Come spesso accade nella matematica moderna a partire dal risultato. di Liouville nella seconda meta del secolo scorso si e sviluppata un intera. branca della quale gli argomenti trattati qui sono solo i prodromi Per chi. IL TEOREMA DI LIOUVILLE 3, fosse interessato la bibliografia di questa nota contiene qualche riferimento. Mi preme infine far presente che come matematico mi occupo di tutt altro. e questa e per me una breve escursione in terra incognita tanto per avver. tirvi che benche sia convinto che questa nota esponga decentemente le idee. principali della dimostrazione e non contenga errori importanti qualcosa. potrebbe essermi sfuggito e qualche lemma potrebbe non essere del tutto. inappuntabile in quanto a rigore matematico,2 Formulazione del problema. In matematica le regole del gioco sono quasi sempre chiare Il quasi. non e una colpa della matematica ma piuttosto dell umanita di chi finora. l ha praticata o l ha inventata non c e accordo su questo punto Cosa. si intende allora con la frase non si puo esprimere in termini di funzioni. elementari Tanto per cominciare battezziamo la primitiva di ex In que. sto paragrafo la chiamiamo F e ci togliamo di torno la fastidiosa costante. additiva imponendo F 0 0, Una funzione reale di variabile reale e esprimibile in termini di funzioni. elementari se e ottenuta componendo tra loro un numero finito di funzioni. dei 4 tipi seguenti, a funzioni razionali ovvero rapporti di polinomi a coefficienti reali.
b funzioni algebriche ovvero le funzioni lisce che localmente espri. mono soluzioni reali di polinomi a coefficienti reali. c logaritmi ed esponenziali,d funzioni trigonometriche e loro inverse. Cio che ci prefiggiamo l uso del plurale nei lavori di matematica da sempre. questa erronea impressione che l autore sia aiutato da schiere di amici o. venga letto da migliaia di persone cio che ci prefiggiamo dicevo e allora. di dimostrare che non c e alcun intervallo dell asse reale su cui la F sia il for. tunato risultato di una tale composizione Ovviamente se non lo possiamo. fare in piccolo ovvero su un intervallo tantomeno potremo farlo su tutto. l asse reale ci prefiggiamo quindi un compito potenzialmente piu difficile. Ammoniamo il lettore io e tutti gli amici che mi stanno aiutando che la. maggiore difficolta e solo apparenza come si puo concludere da un semplice. argomento di continuazione analitica, Per renderci la vita un po piu semplice d ora in poi considereremo in. realta funzioni f di variabile reale a valori complessi Chiaramente una f di. questo tipo puo essere decomposta come,f Re f i Im f. dove le funzioni x 7 Re f x e x 7 Im f x danno semplicemente la parte. reale e quella immaginaria del numero complesso f x Per noi derivare. e integrare tali funzioni significhera semplicemente derivare e integrare le. rispettive parti reale e immaginaria e ricomporle nel modo ovvio Per. intenderci se h f ig e f e g sono funzioni reali allora h0 f 0 ig 0. 4 CAMILLO DE LELLIS, Per la primitiva procediamo analogamente Penseremo quindi ex come la. funzione x 7 ex i 0 e vedremo di negare l esistenza di una primitiva. complessa elementare di nuovo ammoniamo il lettore che questo e solo. apparentemente piu complicato Il motivo per tuffarci nel mondo complesso. e semplice in tale mondo le funzioni trigonometriche sono riconducibili a. quelle esponenziali cos come le loro inverse si riducono a logaritmi In. particolare la nota formula di Eulero ci mostra come il seno sia una somma. di esponenziali, Essenzialmente manipolando quest unica formula si riesce ad esprimere tutte.
le funzioni trigonometriche e le loro inverse a partire da logaritmi ed espo. nenziali Questo ci libera dalla necessita di considerare la classe d nella. lista di sopra D altra parte ci vorra un po di cura nella definizione dei. logaritmi vista la multivocita di tale operazione nel campo complesso Di. questo ci occuperemo tra un attimo, 3 Campi differenziali estensioni e funzioni elementari. Per procedere dobbiamo introdurre il protagonista principale delle nostre. discussioni, Definizione 3 1 Un campo differenziale K e un campo nell usuale senso del. termine nell algebra astratta quindi un insieme con due operazioni somma. e prodotto che soddisfano i soliti assiomi di campo si veda ad esempio 6. e che possiede una mappa 0 K K detta derivata che soddisfa le seguenti. D1 ab 0 a0 b ab0 per ogni a b K,D2 a b 0 a0 b0 per ogni a b K. L insieme degli elementi del campo la cui derivata e 0 che e un sottocampo. e detto campo delle costanti, Il campo differenziale piu semplice che considereremo in questa nota e. il campo delle funzioni razionali a coefficienti complessi di una variabile. Definizione 3 2 Indicheremo con C x l anello dei polinomi a coefficienti. complessi ovvero delle funzioni R 3 x 7 f x C della forma. dove c0 cn C, Indicheremo con C x il campo delle funzioni razionali ovvero delle fun.
zioni della forma, f x tali che P Q C x siano polinomi primi tra loro. IL TEOREMA DI LIOUVILLE 5, Con primi tra loro intendiamo come al solito che P e Q non hanno fat. tori comuni non banali ovvero che non hanno radici complesse in comune. D altra parte abbiamo virgolettato il termine funzioni nel paragrafo pre. cedente perche e ovvio che il valore di una generica f C x potrebbe non. essere definito in alcuni punti gli zeri reali del polinomio Q comunque un. numero finito di punti La derivata su C x e ovviamente la solita derivata. e il sottocampo delle costanti non e altro che il solito sottocampo delle fun. zioni costanti C x e a tutti gli effetti un campo differenziale e D1 e D2. non sono altro che la regola di Leibniz e l additivita della derivata Il lettore. attento avra notato che manca la formula per la derivata del quoziente nella. Definizione 3 1 In realta non c e bisogno di aggiungerla il lettore molto. attento avra notato che essa e una conseguenza diretta di D1 e D2 si. veda l Appendice A, Osservazione 3 3 Nel seguito ogni volta che tratteremo un campo dif. ferenziale K esso sara un campo differenziale di funzioni complesse di. variabile reale dove si suppone che le funzioni in gioco siano definite su. un intervallo I R comune a tutti gli elementi di K tranne al piu un. insieme di punti isolati che pero potranno dipendere dalla funzione. stessa Queste funzioni f soddisferanno in realta tutte una proprieta molto. M f e la restrizione all intervallo I di una funzione meromorfa definita. su un intorno complesso di I si veda un testo classico di analisi. complessa ad esempio 16 per il concetto di funzione meromorfa. Qui e in seguito useremo il termine intervallo anche per l intero asse reale. o per una qualsiasi semiretta, Il lettore che non e familiare con l analisi complessa puo tranquillamente. trascurare i discorsi che faremo in seguito sulle funzioni meromorfe e la con. dizione M Il nucleo piu importante delle idee esposte in questa nota non. ha a che vedere con l analisi complessa la condizione M e solo un modo. veloce per garantire la coerenza di alcuni dettagli che altrimenti richiedereb. bero tediose giustificazioni Raccogliamo qui di seguito quelle conseguenze. che se date per buone eviterebbero alcune discussioni Infatti se f e g. soddisfano M allora, M1 possiamo trascurare di discuterne la differenziabilita f e g sono.
addirittura analitiche sul loro dominio di definizione. M2 l insieme f g consiste sempre di punti isolati se f e g sono. M3 se la derivata di f si annulla in un sottointervallo allora f e costante. su tutto il suo dominio di definizione, Per tutte queste proprieta rimandiamo a un qualsiasi testo classico di analisi. complessa come ad esempio 16 Notiamo che M3 non puo essere conclusa. come al solito dal teorema fondamentale del calcolo perche il dominio di. definizione di f non e connesso,6 CAMILLO DE LELLIS. Osservazione 3 4 Stiamo escludendo dalle nostre considerazioni anche. comuni funzioni definite a tratti come, Infatti non soddisfa la condizione M su I R una funzione meromorfa. definita in un intorno complesso U di R e che assuma il valore 1 x per. ogni x R positivo coincide necessariamente con la funzione z 7 1 z nella. componente connessa di U che contiene R, Si potrebbe obiettare che una funzione definita a tratti come la 3 1. avrebbe tutto il diritto di essere chiamata elementare mentre secondo la. definizione che daremo in seguito tali funzioni saranno elementari solo se. ristrette ad alcuni intervalli Tuttavia mostreremo che non c e alcun in. tervallo I R su cui una primitiva di ex e esprimibile in termini di. funzioni elementari in particolare si veda la formulazione del Corollario. 4 4 Pertanto il nostro argomento escludera anche funzioni come la 3 1. Definizione 3 5 Sia I un dato intervallo di R Supponiamo che K sia un. campo di funzioni f ciascuna definita su I tranne al piu un insieme di punti. isolati che puo dipendere da f stessa e che soddisfi M Allora diciamo. che K e un campo di funzioni analitiche Se inoltre per ogni elemento f di. K l usuale derivata dell analisi appartiene a K allora diciamo che K e un. campo differenziale classico di funzioni analitiche. Nel resto del testo usero il virgolettato per l aggettivo classico perche. non si tratta di una terminologia usuale ma di un invenzione introdotta ad. hoc da me in questo articolo In pratica visto che nel seguito considerere. mo sempre campi di funzioni K come nella Definizione 3 5 e come derivata. prenderemo sempre la solita derivata decidere o meno se K e un campo. differenziale classico equivarra a capire se la solita operazione di differen. ziazione ci da sempre elementi di K quando operiamo su K D altra parte e. lecito chiedersi se in uno qualsiasi di questi campi non sia possibile definire. un altra operazione che soddisfi gli assiomi D1 e D2 ma non coincida. con la derivata dell analisi E sicuramente il caso per la mappa banale. che assegna ad ogni elemento la funzione identicamente nulla Ma in realta. ci sono molti altri esempi di campi differenziali in cui l operazione di deri. vazione coincide con la derivata dell analisi su alcuni elementi ma non su. tutti C e invece una certa rigidita se K e un campo di funzioni elementa. ri si rimanda ai paragrafi successivi per la definizione in tal caso alcune. condizioni naturali caratterizzano la solita operazione di differenziazione si. veda l Appendice B Non useremo nel resto delle nostre discussioni que. sto fatto che pero si puo verificare senza troppo sforzo ed e essenzialmente. equivalente ad altre considerazioni che faremo, Per rendere molti discorsi successivi piu semplici converra introdurre po.
linomi e funzioni razionali a coefficienti in un campo arbitrario K che ver. ranno indicati con K X e K X Non stiamo in questo caso parlando di. IL TEOREMA DI LIOUVILLE 7, funzioni nel vero senso del termine ma piuttosto di scritture formali. kj X j per i polinomi 3 2,per le funzioni razionali 3 3. dove i coefficienti kj e l sono elementi del campo K e in 3 3 si suppo. ne che denominatore e numeratore non abbiano fattori comuni non banali. ovvero siano polinomi primi fra loro relativamente al solito procedimento di. divisione con resto per polinomi su un campo arbitrario che d ora in poi. chiameremo algoritmo di divisione euclideo in pratica l algoritmo euclideo. non e altro che l algoritmo comunemente chiamato di Ruffini nei licei Primi. fra loro vuol quindi dire che non c e un polinomio di grado positivo che di. vida entrambi senza resto Se poi un polinomio P non e diviso senza resto. da alcun polinomio di grado minore e positivo allora diremo coerentemente. con la letteratura che P e irriducibile, Una tipica situazione che potrebbe generare confusione nel lettore ma. speriamo di no e che incontreremo spesso e la seguente K e gia di per. se un campo di funzioni su un intervallo I ad esempio il campo C x Un. elemento in K X e allora dato da una scrittura del tipo. dove ciascuna gl e una funzione su I ovvero un elemento di K usiamo. le virgolette solo perche al dominio di gl potrebbe mancare una manciata. di punti Data un ulteriore funzione di variabile reale f ad esempio x 7. f x ex che non e necessariamente un elemento di K potremo allora. considerare la funzione h R f data da,x 7 h x gl x f x l 3 4. h e allora definita ovunque su I eccetto che per un insieme di punti isolati e. non e difficile vedere che qualora f soddisfi M come abbiamo gia postulato. per le gl allora anche h la soddisfa Nell esempio specifico ovvero quando. x 7 f x ex e gl C x avremmo,h x gl x elx, e h si estenderebbe pertanto a una funzione meromorfa su tutto C.
Osservazione 3 6 Grazie a M h R f e meromorfa in un intorno. complesso di I e quindi si veda M2 vale una delle seguenti alternative. o h 0 e un insieme di punti isolati,8 CAMILLO DE LELLIS. o h e identicamente nulla, Esaminiremo ora in dettaglio cosa succede nei due casi dell Osservazione. 3 6 e in particolare come possiamo estendere il campo K in modo da includere. Definizione 3 7 Sia K un campo di funzioni analitiche su un intervallo. I e f I C una funzione che soddisfa M ma non appartiene a K. Distinguiamo due casi, A C e un polinomio P K X tale che h P f e identicamente nulla. in altre parole f e uno zero del polinomio P In tal caso diciamo. che f e algebrica su K Da argomenti classici sappiamo che esiste. un polinomio monico irriducibile R K X di cui f e uno zero si. veda ad esempio 6 Sia m 1 il grado di R Definiamo allora il. campo K f come,K f Q f Q K X ha grado m 1, T Non c e alcun polinomio come in A In tal caso diciamo che f e. trascendente su K e definiamo il campo,K f P Q K X sono polinomi primi tra loro.
Nel seguito si dara spesso il caso che il dominio di definizione del campo. K non coincida con quello di f ci troveremo sempre pero in situazioni in. cui i due domini si intersecano e quindi a patto di restringere sia f sia gli. elementi di K a un intervallo comune potremo procedere come sopra. Che K f sia un campo nel secondo caso e ovvio Nel primo caso viene dal. solito trucco che si incontra agli inizi della Teoria di Galois Supponiamo. infatti che P sia un polinomio monico irriducibile di cui f e uno zero e. sia m il suo grado E chiaro che K f e chiuso per quanto riguarda la. somma Per quanto riguarda il prodotto basta osservare che se a bc. e b c K f allora a Q f per qualche polinomio Q K X Se il. grado di Q e maggiore di m 1 possiamo usare l algoritmo euclideo di. divisione tra polinomi a coefficienti in un campo si veda 6 per scrivere. Q Q1 P R dove R K X e un polinomio di grado minore di m. Visto che P f 0 otteniamo allora Q f R f e quindi concludiamo. che a K f Dobbiamo ora far vedere che per ogni elemento di K f che. non sia identicamente nullo K f contiene il suo reciproco L argomento. usa un identita potente che sara nominata spesso in seguito Consideriamo. un elemento non nullo a K f Allora a Q f per qualche polinomio. Q K X di grado al piu m 1 che non e il polinomio identicamente nullo. P non puo dividere Q perche il grado di Q e minore Essendo P irriducibile. ne segue che P e Q sono primi tra loro Possiamo allora invocare l identita. di Be zout e affermare l esistenza di polinomi R S K X tali che. IL TEOREMA DI LIOUVILLE 9, si veda ad esempio la Sezione 3 9 di 6 Visto che P f 0 ne concludia. mo che aS f Q f S f 1 Ma S f e un elemento di K f e pertanto. il reciproco di a appartiene a K f, In generale i campi costruiti nella Definizione 3 7 non sono necessariamen. te campi differenziali classici nel senso della Definizione 3 5 anche nel caso. che lo sia K perche non e detto che la solita operazione di differenziazione. mappi il nuovo campo in se stesso O meglio come vedremo sotto se K e un. campo differenziale classico le sue estensioni algebriche sono sempre dei. campi differenziali classici ma quelle trascendenti in generale no Infatti. se L e una estensione trascendente di K e s sempre possibile estendere la. derivata classica di K a un operazione su L che soddisfi gli assiomi della. Definizione 3 1 tuttavia tale estensione non coincide in generale con la. derivata dell analisi Ci sono pero due classi particolari di estensioni tra. scendenti per le quali il campo risultante L e sempre un campo differenziale. classico queste due classi sono anche le uniche estensioni trascendenti di. cui ci occuperemo nel resto di questa nota, Definizione 3 8 Sia K un campo differenziale di funzioni su un intervallo. I Una funzione f definita su un intervallo J I e che soddisfa M e. un logaritmo su K se esiste un elemento g di K che e definito ovunque. su J non si annulla mai su J e tale che f 0 g 0 g, un esponenziale su K se esiste un elemento g di K che e definito. ovunque su J e tale che f 0 g 0 f, Ovviamente segue dalla definizione che a meno delle solite costanti e.
della multivocita del logaritmo complesso nei due casi di sopra g e effetti. vamente il logaritmo piu propriamente un logaritmo visto che abbiamo a. che fare con valori complessi o l esponenziale di f In particolare. se g e definito ovunque su J allora J 3 x 7 eg x soddisfa M ed e. un esponenziale su K, e se g in aggiunta non si annulla su J a patto di scegliere una. determinazione log del logaritmo complesso J 3 x 7 log g x. soddisfa M ed e un logaritmo su K in pratica h log g J C. e una funzione tale che eh g e che ha un estensione olomorfa su. un intorno complesso di J l esistenza di h e un fatto elementare in. analisi complessa correlato alla proprieta dell intervallo J di essere. semplicemente connesso, Il seguente lemma ci garantisce che le tre speciali estensioni di campo di. cui d ora in poi ci occuperemo ovvero ottenute attraverso l aggiunta di. elementi algebrici logaritmi o esponenziali danno sempre campi differenziali. Lemma 3 9 Sia K un campo differenziale classico di funzioni analitiche. e f un elemento non appartenente a K che e o algebrico o un logaritmo o. un esponenziale su K Allora K f e un campo differenziale classico di. 10 CAMILLO DE LELLIS, funzioni analitiche ovvero K f e chiuso rispetto alla solita operazione di. differenziazione, Dimostrazione Viste le regole D1 e D2 e ovvio che dobbiamo solo con. trollare che f 0 appartenga a K f Per esponenziali e logaritmi questo e. ovvio Dobbiamo quindi solo controllare il caso algebrico Consideriamo un. polinomio P K X di grado minimo di cui f e uno zero Scriviamo allora. P aj X j con a0 am K, Notiamo che P f 0 Differenziando questa identita troviamo.
f0 jaj f j 1 a0j f j 3 5, Se definiamo il polinomio Q m j 1 osserviamo che questo poli. nomio non puo essere nullo Infatti il grado di P e almeno 2 altrimenti f. apparterrebbe al campo K e quindi il grado di Q e m 1 1 pertanto. Q f e un elemento di K f non banale invertibile Ma anche il membro. sinistro di 3 5 e un elemento di K f Dividendo entrambi i membri di. 3 5 per Q f otteniamo allora una formula per f 0 che mostra come f 0 sia. effettivamente un elemento di K f, Siamo ora pronti per definire le funzioni elementari. Definizione 3 10 Un campo differenziale di funzioni L verra chiamato. estensione elementare di un campo differenziale di funzioni K se esiste una. successione finita di funzioni f1 fN e di campi K0 K1 KN tali che. K0 K e KN L, per ogni i N 1 Ki 1 Ki fi 1 e fi 1 e algebrica o un logaritmo. o un esponenziale su Ki, Il campo L verra allora indicato con il simbolo K f1 fN Una funzione. f e elementare se appartiene a un estensione elementare del campo delle. funzioni razionali C x, Ovvero una funzione e elementare se ottenuta aggiungendo un nume.
ro finito di funzioni algebriche o logaritmi o esponenziali alle funzioni ra. zionali e chiudendo il nuovo insieme di funzioni rispetto alle operazioni di. somma e prodotto Ad esempio,ee e elementare due estensioni esponen. ziali di C x cos come log x un estensione logaritmica seguita da una. Osservazione 3 11 Stiamo volutamente ignorando i domini di definizione. per non appesantire il discorso Ad esempio per la seconda funzione potrem. mo dare come e naturale un qualsiasi intervallo J 1 Ma potremmo. anche usare un intervallo di 0 1 dovremmo estrarre. p la radice di un nume, ro negativo e potremmo decidere di definirla come i con la convezione. IL TEOREMA DI LIOUVILLE 11, che ci da un numero positivo Entrambe le scelte sono legittime se ci ac. cordiamo sul chiamare estrazione di radice una qualsiasi funzione x 7 f x. definita su un intervallo I che rispetti la condizione M e tale che per ogni. x I f x sia uno zero del polinomio P X X 2 x che e un elemento. irriducibile di K X se scegliamo K C x L importante e che l intervallo. I di definizione non contenga lo 0 se lo includiamo non c e modo di trovare. una funzione che rispetti tutti questi requisiti il problema e che l operazio. ne di estrazione di radice e multivoca in un qualsiasi intorno complesso. dell origine e non c e quindi modo di soddisfare la condizione M se lo 0 e. nell intervallo I, Attenzione abbiamo battezzato come elementari tante funzioni che pro. prio elementari non sono Prendiamo ad esempio un polinomio P di quinto. grado a coefficienti in K C x non costanti Questo avra la forma. P X fi X i, Scegliamo un qualsiasi intervallo J su cui tutte le funzioni fi siano de.
finite PPer ogni t J otteniamo un polinomio a coefficienti complessi. Pt i 0 fi t X L insieme dei punti t J per cui questo polinomio. non ha 5 radici distinte e discreto e di nuovo una conseguenza dell analisi. complessa si veda il Lemma 5 1 piu avanti Sia quindi t un qualsiasi punto. in J per cui Pt ha 5 radici distinte Allora per il teorema della funzione. implicita rimandiamo di nuovo al Lemma 5 1 per la dimostrazione in un. intorno J 0 di t troviamo 5 distinte funzioni analitiche g1 g5 della varia. bile t che risolvono Pt gj t 0 per ogni t Ciascuna di queste funzioni. e algebrica su C x Quindi ciascuna di esse e una funzione elementare se. condo la Definizione 3 10 Ma come ben sappiamo dalla classica Teoria di. Galois le soluzioni di un generico polinomio di quinto grado non sono espri. mibili per radicali Se e pur vero che per alcuni polinomi di quinto grado le. soluzioni per radicali esistono si puo dimostrare che le funzioni fi possono. essere scelte in modo che i polinomi Pt non siano in questa classe Le fun. zioni g1 g5 non si potranno allora esprimere in genere come radicali di. funzioni razionali,4 Il teorema di Liouville e la primitiva di ex. Siamo ora pronti per enunciare il teorema fondamentale di Liouville. Teorema 4 1 Teorema di Liouville Siano K un campo differenziale clas. sico di funzioni analitiche e un elemento di K Se esiste un estensione. elementare L di K con un elemento y tale che y 0 allora esistono elementi. u1 un v K e costanti c1 cn C tali che,12 CAMILLO DE LELLIS. e viceversa, Il teorema di Liouville e profondo e sorprendente L esistenza di una pri. mitiva in una qualsiasi estensione elementare L ovvero un oggetto esterno. al campo K che puo essere costruito in una miriade di modi e ridotto a. un identita la 4 1 in cui tutti i termini in gioco sono elementi del campo. originale K, Osservazione 4 2 Notiamo che il viceversa e relativamente semplice. Supponiamo infatti che u1 un v K e c1 cn C soddisfino 4 1. e assumiamo senza perdita di generalita che non esista alcun elemento a di. K tale che ujj a0 per qualche j infatti se cio avvenisse basterebbe ridefinire. la v come v a per ottenere una formula come in 4 1 con n 1 addendi del. tipo uj dopo un numero finito di tali operazioni arriviamo a una scrittura. analoga in cui nessuno dei quoazienti ujj e la derivata di un elemento di. K A patto di restringere l intervallo I di definizione delle nostre funzioni. possiamo supporre che nessuno degli elementi uj si annulli su I Ma allora. possiamo scegliere una determinazione log del logaritmo complesso e porre. aj log uj Ne segue che L K a1 aN e un estensione elementare. di K stiamo assumendo che aj 6 K a1 aj 1 ma d altra parte se. cos non fosse tanto meglio,P dovremo solo estendere meno il campo K.
Inoltre e ovvio che y j cj aj v e un elemento di L differenziando. otteniamo allora y 0 j cj a0j v 0 j cj ujj v 0 e concludiamo da 4 1. La precedente osservazione ci da un intepretazione interessante del Teore. ma 4 1 aggiungere elementi algebrici o esponenziali su K non ci e di alcun. aiuto nel trovare una primitiva che non era gia in K L unica speranza e. che basti aggiungere un numero finito di logaritmi. La dimostrazione del Teorema di Liouville ci costera la maggior parte dello. sforzo nelle prossime pagine Con relativamente meno fatica dedurremo. da esso la seguente, Proposizione 4 3 Siano f g C x tali che g non sia costante e f sia non. nulla Sia inoltre J un intervallo su cui entrambe le funzioni sono ovunque. definite Allora la funzione x 7 f x eg x ha una primitiva elementare se e. solo se esiste a C x tale che f a0 ag 0, Da questa proposizione deriveremo tra breve il nostro agognato corollario. Prima pero e utile commentarla per farcela un po amica Una direzione e. assolutamente ovvia Supponiamo che ci sia a C x ovvero una funzione. razionale a tale che f a0 ag 0 Allora la funzione x 7 h x a x eg x. e ovviamente una funzione elementare perche eg e un esponenziale. su K C x e h K D altra parte e un gioco da ragazzi derivare h e. vedere che h0 a0 ag 0 eg f eg La parte interessante della Proposizione e. IL TEOREMA DI LIOUVILLE 13, quindi l implicazione inversa ovvero il fatto che se una primitiva elementare. esiste allora a meno di costanti e necessariamente della forma aeg dove a. e una funzione razionale Il succo e tutto in questa informazione aggiuntiva. ovvero la razionalita di a Altrimenti l esistenza di una funzione regolare a. che soddisfi l equazione differenziale a0 ag 0 f dove f e g 0 sono funzioni. note e garantita da un qualsiasi testo di Analisi si veda ad esempio il. Capitolo 7 1 di 1 Abbiamo anche una bella formula per a che pero. presuppone il calcolo di integrali che ovviamente coinvolgono la funzione. f eg la formula in questione e,a x eg g x f d 4 2, si veda ad esempio 7 20 in 1 Anche sapendo 4 2 in quanto a decidere. se la soluzione e razionale siamo da capo a dodici come si dice dalle mie. Notiamo anche che la Proposizione 4 3 e piuttosto intuitiva ci dice in. pratica che e inutile mettere altre funzioni elementari in gioco siano esse. trascendenti o algebriche quando tentiamo di primitivare f eg o funziona. qualcosa della forma aeg con a razionale o non c e trippa per gatti Tutti. quelli che hanno perso un po del loro tempo a cercare la primitiva di ex. hanno fatto proprio questa esperienza, Ci accontentiamo di finire questa sezione con la parte facile grazie alla.
Proposizione 4 3 mostreremo il, Corollario 4 4 Non c e una funzione elementare f definita su un intervallo. J tale che f 0 x ex, Dimostrazione Vista la Proposizione 4 3 il nostro obiettivo e negare l esi. stenza di una funzione razionale a Q P,tale che a0 ag 0 f Ovviamente P. e Q sono due polinomi a coefficienti complessi che assumiamo primi tra loro. Visto che g x x2 e f x 1 l identita che essi risolverebbero sarebbe. P 0 x Q x Q0 x P x 2xP x,che e equivalente a,P 0 x Q x Q0 x P x 2xP x Q x Q x 2 4 3. Ovviamente la Proposizione 4 3 ci direbbe che quest ultima identita deve es. sere soddisfatta solo su J D altra parte trattandosi di polinomi l identita. e soddisfatta su un intervallo non banale se e solo se e soddisfatta ovunque. Supponendo allora l esistenza di due polinomi che soddisfino 4 3 ne con. cluderemmo che Q divide il polinomio Q0 P Visto pero che Q e P sono primi. tra loro Q dovrebbe dividere Q0 D altra parte questo implicherebbe che il. grado di Q0 sia almeno quello di Q e cio sarebbe possibile solo se Q fosse un. polinomio costante Per il momento non c e niente di male vuol solo dire. 14 CAMILLO DE LELLIS, che una funzione razionale a non ha chances di risolvere a0 ag 0 f a meno.
che non sia un polinomio P L identita 4 3 diverrebbe allora. P 0 x 2xP x 1, ovvero 2xP x 1 P 0 x E ovvio pero che nessun polinomio soddisfa. quest ultima uguaglianza se P ha grado m allora il grado del membro sini. stro e necessariamente m 1 salvo quando P e identicamente nullo D altra. parte il grado del membro destro non e mai maggiore di m Rimarrebbe. da esaminare il caso banale P 0 che ovviamente non da una soluzione. Ne concludiamo che una soluzione razionale a di a0 ag 0 f non esiste. Pertanto grazie alla Proposizione 4 3 non esistono un intervallo J e una. funzione elementare f J C tali che f 0 x ex su J, Osservazione 4 5 E facile vedere che non cambia nulla se al posto di. ex prendiamo la sua sorella piu famosa e x ovvero la Gaussiana il. Corollario 4 4 e un fatto puramente algebrico come era lecito aspettarsi. Pertanto le proprieta che rendono x 7 e x migliore di x 7 ex come. funzione di variabile reale ad esempio le proprieta di decadimento a. non giocano alcun ruolo nel nostro caso,5 Alcuni strumenti algebrici. Nel resto di questa nota ci occuperemo delle dimostrazioni del Teorema. 4 1 e della Proposizione 4 3 Avremo pero bisogno di alcuni importanti. strumenti algebrici che raccoglieremo e giustificheremo in questa sezione. 5 1 Esistenza delle radici di un polinomio Consideriamo un campo. K di funzioni analitiche ovviamente i campi che ci interessano veramente. sono quelli differenziali classici ma in questo capitoletto possiamo lavora. re con molta piu generalita e un polinomio irriducibile P K X di grado. m Ci aspettiamo allora l esistenza di m radici distinte in una opportuna. estensione del campo K Questo e vero per un teorema generale che garan. tisce l esistenza di una chiusura algebrica per qualsiasi campo si veda ad. esempio le p 11 12 di 2 Tuttavia vogliamo mostrare qui che e possibi. le trovare m radici distinte in una estensione che e a sua volta un campo. di funzioni analitiche in accordo con le definizioni di questa nota senza. scomodare grossi risultati dell algebra astratta Dovremo pero scomodare. qualche risultato di analisi complessa classica ma si sa e difficile ottenere. qualcosa di interessante senza un po di fatica Il lettore interessato alle idee. principali che si nascondono dietro al Teorema di Liouville puo saltare la. dimostrazione che e un po tecnica e ha poco a che fare con il resto. Lemma 5 1 Consideriamo un campo di funzioni analitiche K definite su. un intervallo I e un polinomio P K X irriducibile di grado m Allora. esistono un sottointervallo J I e m funzioni distinte fi I C che. soddisfano M e tali che P fi 0 per ogni i,IL TEOREMA DI LIOUVILLE 15. Dimostrazione Ricordiamo il seguente risultato Sia P x m j. j 0 cj x un, polinomio monico a coefficienti complessi che ha m radici distinte.
Allora esistono m funzioni olomorfe 1 m Cm U C definite in un. intorno U di c0 cm 1 tali che per ogni i, i a0 am 1 e uno zero del polinomio xm am 1 xm 1 a0. per ogni a0 am 1 U,i c0 cm 1 zi, L asserzione e un risultato diretto del teorema della funzione implicita per. funzioni olomorfe Infatti l esistenza di m radici distinte e equivalente al. fatto che la derivata P 0 x m j 1 non si annulla in nessuno dei. punti z1 zm Se introduciamo la funzione olomorfa di m 1 variabili. complesse P x a0 am 1 xm am 1 xm 1 a0 ne concludiamo. allora che,zi a0 am 1 6 0 i, e possiamo quindi applicare il teorema della funzione implicita si veda ad. esempio la p 19 in 4, Veniamo ora alle funzioni fi Innanzitutto scriviamo P X m j. Restringendo l intervallo I di definizione possiamo supporre senza perdita. di generalita che le funzioni gj siano tutte definite su I e che la gm non si. annulli mai su I ricordiamo che le gj soddisfano M Dividendo per gm. possiamo allora supporeP che gm sia identicamente 1 Per ogni t consideriamo. il polinomio Pt x j 0 gj t x che e un onesto polinomio monico a. coefficienti complessi Cerchiamo ora un punto t0 I tale che Pt0 x abbia. m radici distinte z1 zm Se lo troviamo possiamo usare le funzioni i di. cui sopra e in un intorno di t0 definire le nostre funzioni fi come. fi t i g0 t gm 1 t, La condizione M e semplice da verificare in effetti le fi posseggono un.
prolungamento olomorfo a un intorno complesso di I. Per trovare il punto t0 consideriamo il polinomio P 0 X m j 1. Essendo P un polinomio irriducibile P e P sono primi tra loro e l identita. di Be zout ci garantisce l esistenza di due polinomi Q R K X tali che. QP RP 0 1 5 1, I coefficienti dei polinomi Q e R sono un numero finito di elementi di K. che quindi soddisfano M A patto di restringerci a un sottointervallo di I. possiamo allora supporre che queste funzioni siano definite per ogni valore. t di I Per ogni t costruiamo i polinomi Pt0 Qt Rt C x alla stregua di. Pt L identita di Be zout diventa allora l identita Qt Pt Rt Pt0 1 per tali. polinomi a coefficienti complessi Questo ci mostra che Pt e Pt0 sono primi tra. loro D altra parte Pt0 e proprio la derivata del polinomio Pt ne concludiamo.

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