La Freccia Del Tempo-Books Pdf

La freccia del tempo
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ne Ecco come il protagonista racconta l espe interpretare alla lettera la reversibilit delle leggi. rienza di un pasto in reverse fisiche,Negli ultimi trent anni del diciannovesimo seco. Eating is unattractive too You select a soi lo James Maxwell William Thomson e soprat. led dish collect some scraps from the garbage tutto il fisico austriaco Ludwig Boltzmann hanno. and settle down for a short wait Various items risposto a queste domande Nelle pagine che. get gulped up into my mouth and after a skilful seguono descriveremo le loro idee insieme ad. massage with tongue and teeth I transfer them alcuni degli sviluppi pi recenti. to the plate for additional sculpture with knife, and fork and spoon That bit s quite therapeutic Le leggi della meccanica sono rever. at least unless you re having soup or some,thing which can be a real sentence Next you. face the laborious business of cooling of reas,Conosciamo tutti l equazione fondamentale della. sembly of storage before the return of these,meccanica la famosa equazione di Newton.
foodstuffs to the Superette where admittedly I, am promptly and generously reimbursed for my F m a. pains Then you tool down the aisles with trolley L equazione di Newton ci dice che l accelerazio. or basket returning each can or packet to its ne2 a di un corpo che pensiamo come un punto. rightful place1 materiale privo di dimensioni pari alla risul. tante F delle forze che agiscono su di esso divi, Ma torniamo ai due video del sito di XlaTan sa per sua la massa m Il fatto che in questa. gente Abbiamo scoperto che i due video sono equazione compaia l accelerazione ma non la. montati al contrario Dunque tutto chiarito velocit implica che l equazione di Newton sia. Beh non proprio resta il fatto che le leggi della reversibile. meccanica che regolano sia il moto del cavalie Immaginiamo ad esempio un Eurostar Roma. re sia quello delle particelle di inchiostro nell ac Milano che superata da poco Firenze acceleri. qua sono perfettamente reversibili Ci significa su un rettilineo In che direzione puntano la sua. che quel che vediamo nei due video in reverse velocit e la sua accelerazione Entrambe verso. non viola alcuna legge della fisica Perch allora nord ovviamente Immaginiamo ora di filmare. non vediamo mai una soluzione di acqua e in questo tratto di corsa del treno e di rivedere il vi. chiostro comportarsi come quella del secondo deo montato al contrario In che direzione punta. video Anzi come mai quasi tutti i fenomeni che no adesso velocit ed accelerazione Allo spet. ci circondano da un piatto che cade e si rompe tatore sembrer che il treno proceda in direzione. a un palloncino che scoppia alla stessa vita degli nord sud e che sia frenando Quindi la velocit. esseri umani mostrano un comportamento irre adesso punta verso sud mentre l accelerazione. versibile E cosa differenzia quei sistemi che continua a puntare verso nord una frenata corri. come il cavaliere o il sistema solare sembrano sponde ad un accelerazione in direzione contra. ria al senso di marcia La conclusione che in, 1 Martin Amis The time arrow Penguin 1991 trad vertendo la freccia del tempo l accelerazione. it La freccia del tempo Mondadori 1993,non cambia3 Dato che n la forza che agisce su. Anche mangiare perde ogni attrattiva Scelgo, un piatto sporco vi sistemo degli avanzi di cibo un corpo n tantomeno la sua massa cambiano.
presi dalla pattumiera e mi metto comodo per un invertendo la freccia del tempo concludiamo. po Alcuni bocconi vengono rigurgitati nella mia che l equazione di Newton invariante per in. bocca e dopo un abile massaggio con la lingua e versione temporale. con i denti li trasferisco sul piatto per un ulteriore Per comprendere meglio cosa comporti questo. lavorazione con coltello forchetta e cucchiaio tipo di invarianza abbiamo bisogno di capire. quasi terapeutico a meno che non si abbia a che come l equazione di Newton determini il moto di. fare con una zuppa o qualcosa del genere nel, qual caso una vera tortura Poi affronto la labo 2 L accelerazione e la forza sono grandezze vetto. riosa faccenda del raffreddamento del riassem riali in quanto servono tre componenti spaziali per. blaggio dell immagazzinaggio prima di riportare determinarle Adottiamo la convenzione di indica. gli alimenti al supermercato dove devo ricono re in grassetto le grandezze vettoriali. scerlo vengo prontamente e generosamente rim 3 Il lettore che abbia dimestichezza con il moto cir. borsato per le mie sofferenze Poi con il carrello o colare pu provare ad eseguire lo stesso esperi. il cestello percorro a ritroso le corsie rimettendo mento mentale con un treno che si muova in cur. tutta la mercanzia al proprio posto TdR va con velocit costante. un corpo L accelerazione a t all istante t misura ton fatto che Laplace sintetizzava in una frase. quanto rapidamente stia variando la velocit celebre divenuta emblema del determinismo. v t la quale a sua volta misura quanto rapida, mente stia variando la posizione q t La forza F Un intelletto che ad un dato istante conoscesse. che agisce sul corpo dipende in generale dalla tutte le forze che animano la Natura e la situa. sua posizione la forza di gravit esercitata dal zione di ogni singolo essere che questa com. nostro pianeta dipende dalla distanza dal centro prende se questo stesso intelletto fosse suffi. della terra la forza di richiamo di una molla di cientemente vasto per sottoporre ad analisi que. pende dl suo allungamento la forza che attrae o sti dati potrebbe abbracciare in un unica formu. respinge due cariche elettriche dipende dalla la tanto il moto dei pi corpi dell universo quan. loro mutua distanza4 to quello dell atomo pi leggero per tale intellet. Ricapitolando l equazione di Newton ci dice to nulla sarebbe incerto e il futuro cos come il. che l accelerazione proporzionale alla forza passato sarebbero presenti davanti ai suoi oc. che dipende dalla posizione la cui variazione a chi 7. sua volta determina l accelerazione Sembra il, classico gatto che si morde la coda Relazioni di La reversibilit delle equazioni di Newton pu. questo tipo si dicono equazioni differenziali For quindi essere letta nel modo seguente se le n. tunatamente tout se tient un importante teore funzioni q1 t q2 t qn t rappresentano una. ma ci assicura che fissate arbitrariamente posi possibile evoluzione di un certo sistema fisico. zione e velocit iniziale q 0 e v 0 esiste ed ossia costituiscono una soluzione del corrispon. unica una traiettoria q t che risolve l equazione dente sistema di equazioni differenziali allora. differenziale per tutti i tempi passati e futuri e l evoluzione in reverse descritta dalle n funzioni. rispetta le condizioni iniziali5 q1 t q2 t qn t ancora un evoluzione. Se i corpi sono molti il numero delle equazioni possibile in quanto risolve il medesimo sistema. aumenta ma la loro forma resta invariata in pre di equazioni con le stesse posizioni iniziali e le. senza di N corpi abbiamo bisogno di n 3N nu velocit iniziali invertite In altre parole se potes. meri che indichiamo con q1 q2 qn per deter simo intervenire sulle singole molecole della so. minare le posizioni e di altrettanti numeri indi luzione di acqua e inchiostro ormai mescolata in. cati con v1 v2 vn per determinare le velocit modo da invertirne istantaneamente tutte le ve. Il numero n si dice numero dei gradi di libert del locit vedremmo l inchiostro rosso e quello blu. sistema L evoluzione di quest ultimo determi separarsi proprio come nel video in reverse. nata univocamente da un sistema di n equazioni, differenziali e da n posizioni e n velocit iniziali Risolvere le equazioni di Newton. Rientrano in questo formalismo tanto il pendolo, a forma di cavaliere anche se qui non si tratta di Prima di vedere come Boltzmann ha spiegato.
punti materiali questo un sistema con sei gra questo apparente paradosso dobbiamo chiarire. di di libert e la forza quella gravitazionale cosa si intenda per risolvere le equazioni di. quanto la soluzione di acqua e inchiostro qui i Newton Tranne che in casi molto particolari. gradi di libert sono tantissimi tre per ogni mole pochissimi gradi di libert forze dall espressione. cola d acqua o di inchiostro se le consideriamo semplice non possibile risolvere in maniera. puntiformi ancora di pi se teniamo conto anche esatta8 un sistema di equazioni differenziali N. della struttura tridimensionale delle molecole in,ogni caso un numero dell ordine di 1024 un 1 se. mi cio dove le velocit non siano prossime a, guito da 24 zeri Infatti qualunque sistema fisi quelle della luce che richiedono una trattazione. co6 pu essere descritto dalle equazioni di New relativistica e dove non siano rilevanti le singole. interazioni tra particelle elementari per le quali. 4 Vi sono anche forze come quelle magnetiche necessaria la meccanica quantistica Pressoch. che dipendono dalla velocit del corpo su cui agi tutti i fenomeni che avvengono a scala umana. scono In presenza di tali forze la reversibilit del rientrano nell ambito della fisica classica. l equazione di Newton da intendersi in un senso 7 Pierre Simon de Laplace Essai philosophique sur. diverso da quello che discutiamo qui les probabilit s 1825 trad it S Oliva Laterza. 5 Questo il contenuto del Teorema di Picard Lin 1951. del f o di Cauchy Lipschitz dal nome dei mate 8 L uso di un computer ci permette di calcolare solu. matici a cui associata la dimostrazione studiata zioni approssimate ma in generale la qualit del. ancora oggi nei corsi universitari l approssimazione peggiora al crescere del tempo. 6 Qui parliamo di sistemi della fisica classica siste e per tempi grandi tali soluzioni approssimate. sarebbe particolarmente utile se vogliamo capi priet generali Nel riquadro descritto lo spazio. re il comportamento globale del sistema non ci delle fasi e la famiglia di trasformazioni Tt per un. basta conoscere la sua evoluzione a partire da sistema particolarmente semplice il pendolo. una data condizione iniziale ma vogliamo tene Un teorema importante attribuito a Liouville. re in qualche modo conto di tutte le possibili garantisce che le trasformazioni Tt conservano. condizioni iniziali Per questo motivo utile pen il volume dello spazio delle fasi9 La definizione. sare alle equazioni di Newton in termini geome del volume nello spazio delle fasi 2n dimensio. trici introducendo lo spazio delle fasi Uno stato nale analoga alla definizione dell area nel pia. del sistema dato dai 2n numeri q1 q2 qn no bidimensionale e del volume nello spazio tri. v1 v2 vn le posizioni e velocit di tutte le dimensionale il volume del cubo Q costituito. componenti del sistema che come abbiamo vi dagli stati q1 q2 qn v1 v2 vn dove cia. sto determinano completamente l evoluzione scuna delle variabili qj e vj varia in un intervallo. passata e futura Cos come due numeri indivi di ampiezza L L2n mentre il volume di una re. duano un punto sul piano bidimensionale e tre gione qualsiasi si definisce approssimandola. numeri ne individuano uno nello spazio tridimen con tanti piccoli cubi Il teorema di Liouville ci. sionale i 2n numeri q1 q2 qn v1 v2 vn dice che se facciamo evolvere per un tempo t il. possono essere pensati come coordinate di un cubo Q otteniamo una regione che non sar pi. punto in uno spazio con 2n dimensioni lo spa un cubo ma che avr ancora volume L2n. zio delle fasi Quindi lo spazio delle fasi lo Ma torniamo al problema di risolvere le equa. spazio di tutti i pos zioni di Newton Per,sibili stati del siste buona parte dell Ot. ma e la sua dimen, Lo spazio delle fasi del pendolo tocento questo vo. sione pari al dop leva dire determina, pio del numero dei Questo disegno rap re n integrali del.
gradi di libert L e presenta l evoluzione moto cio n funzio. voluzione del siste di un pendolo ideale ni definite sullo spa. ma pu adesso es senza attrito vista zio delle fasi che si. sere pensata come nello spazio delle mantengano co. al moto di un punto fasi In ascissa ri stanti lungo l evolu. nello spazio delle portata la posizione zione temporale. fasi misurata come an Immaginiamo che, Le equazioni di golo in ordinata la lo spazio delle fasi. velocit L origine,Newton determina sia il mare e che i. degli assi corrispon, no una famiglia di de al pendolo in po pesciolini che vi. trasformazioni Tt al sizione di riposo I nuotano dentro de. variare di t tra tutti i cerchi blu corrispondono alle oscillazioni del pendolo nei scrivano l evoluzio. numeri reali dello due punti dove i cerchi intersecano l asse delle ascisse la ne temporale degli. spazio delle fasi in velocit nulla e l oscillazione massima partendo da stati Un integrale. s l immagine dello tali stati il pendolo percorre il cerchio blu in senso orario del moto potrebbe. stato x tramite la aumentando la velocit e diminuendo l angolo fino ad ar in questo caso es. trasformazione Tt rivare ad una delle due intersezioni con l asse delle ordi sere la temperatu. lo stato Tt x che si nate corrispondente al passaggio dalla verticale dove la ra ciascun pescioli. ottiene risolvendo le velocit massima Le curve rosse corrispondono alle ro no ha la sua tempe. tazioni complete il pendolo ruota sempre nello stesso. equazioni di New verso senza mai fermarsi con velocit massima al pas ratura preferita e. ton a partire dalla saggio verticale basso e minima al passaggio verticale nuota solamente. condizione iniziale alto Sapreste indovinare a quali moti corrispondono le nell acqua a quella. x dopo un intervallo curve nere temperatura Che,di tempo t aspetto avr la re. Ovviamente la conoscenza esatta della trasfor gione dove nuota il pesciolino che predilige i 6 7. mazione Tt equivalente a saper risolvere le gradi Celsius Il mare tridimensionale e la por. equazioni di Newton per tutte le condizioni ini, ziali ma qui ci basta sapere che la trasformazio 9 Questa propriet dovuta alla natura Hamiltonia.
na delle equazioni di Newton cio al fatto che le,ne Tt ben definita e poterne studiare le pro. componenti delle forze sono a meno del segno,le derivate parziali di una funzione V q1 q2 qn. sono inservibili detta energia potenziale,Sistemi completamente integrabili. Si dicono completamente integrabili quei sistemi con n gradi di libert per cui possibile trovare n integrali. del moto Indichiamo con i simboli 1 2 n questi n integrali del moto Si dimostra che in questo caso. un cambio di variabili nello spazio delle fasi permette di passare dalle coordinate q1 q2 qn v1 v2. vn a coordinate 1 2 n 1 2 n in cui il sistema mostra un comportamento molto semplice. le j sono costanti gi lo sapevamo trattandosi di integrali del moto mentre le j sono coordinate ango. lari nel senso che cambiando j con j 2 lo stato individuato non cambia che compiono rotazioni. complete con frequenza j ossia j t j 0 j t Fissiamo arbitrariamente i valori degli n integrali. del moto Che forma hanno le superfici dove confinato il moto Se n 1 abbiamo un solo angolo che va. ria quindi il moto confinato ad un cerchio Se n 2 abbiamo due angoli che variano indipendentemente. la superficie descritta quella di un toro il termine matematico per indicare la superficie di una ciambella. In generale troviamo tori n dimensionali Come il moto sul singolo toro Vediamolo nel caso n 2 Sup. poniamo che il rapporto tra le due frequenze sia un. numero razionale ad esempio 1 2 5 3 Questo, significa che mentre il primo angolo compie 5 giri il. secondo ne compie 3 Dopo tale intervallo i tempo, entrambi gli angoli sono tornati quelli iniziali quindi il.
moto del sistema periodico Se invece il rapporto,tra le frequenze un numero irrazionale i due ango. li pur variano ciascuno in modo periodico non ritro. vano mai contemporaneamente i valori iniziali quin. di il moto non periodico Si tratta di una curva che tende a riempire tutto la superficie del toro in un modo. che si dice quasi periodico Sapreste indovinare qual la casistica con tre gradi di libert Quale relazio. ne devono soddisfare le tre frequenze 1 2 3 affinch il moto sia periodico. zione a 6 7 gradi Celsius una superficie in pri no stati sviluppati vari metodi per trovare gli inte. ma approssimazione orizzontale ma che scen grali del moto meno evidenti per arrivare ai fati. de pi in profondit nelle zone equatoriali e sem dici n che permettono una comprensione pres. pre meno avvicinandosi ai poli Sapere che i pe soch completa della dinamica Questi metodi. sciolini hanno una temperatura preferita non ci avevano permesso di studiare con successo. permette di prevederne il moto ma almeno lo due corpi che si attraggono tramite la forza gra. confina ad uno spazio di dimensione pi bassa vitazionale pendoli multipli trottole ed altri siste. una superficie bidimensionale di una dimensio mi relativamente semplici Applicare gli stessi. ne inferiore alle tre dello spazio delle fasi Quindi metodi a sistemi pi complicati sembrava un im. l effetto di ciascun integrale del moto di ridurre presa difficile dal punto di vista algebrico ma. di un unit la dimensione della regione poten non impossibile Tra i problemi pi importanti. zialmente raggiungibile dall evoluzione dei sin che sembravano resistere ad ogni attacco la. goli stati Se riusciamo a trovare n integrali del descrizione del moto di tre o pi corpi che si at. moto tanti quanti sono i gradi di libert lo spa traggono tramite la forza gravitazionale merit di. zio delle fasi 2n dimensionale viene suddiviso essere inclusa in un concorso internazionale di. matematicamente foliato in superfici di di matematica bandito da Re Oscar II di Svezia. mensione n ciascuna delle quali invariante nel 1886 Ecco come il matematico Weierstrass. per l evoluzione In effetti la conoscenza di n in enunci il problema nel bando di concorso. tegrali del moto permette anche di stabilire di, che natura siano queste superfici e che aspetto Dato un sistema composto da un numero qual. qualitativo abbia il moto su di esse Si veda il ri siasi di punti materiali che si attirano mutuamen. quadro in alto per maggiori dettagli Qui ci basta te secondo la legge di Newton si propone nell i. osservare che con un opportuno cambio di va potesi che fra due punti non si verifichino mai. riabili il sistema si comporta come n oscillatori urti di rappresentare le coordinate di ciascun. indipendenti l uno dall altro quindi esibisce un punto sotto forma di serie di potenze di funzioni. moto molto regolare Alcuni integrali del moto continue nel tempo che siano uniformemente. sono evidenti come l energia che si conserva in convergenti per tutti i valori reali della variabile. tutti i sistemi isolati dall esterno o la quantit di. moto o il momento angolare Nell Ottocento era Vinse il concorso il matematico francese Henri. Poincar con una memoria in cui tra vari altri ri forza repulsiva che si attiva quando due particel. sultati forniva una risposta di tipo negativo al le si avvicinano o una si avvicina alle pareti del. problema formulato da Weierstrass se i corpi contenitore oltre una certa soglia Se il gas. sono pi di due non esistono altri integrali del composto da N atomi questo sistema ha 3N. moto oltre a quelli gi conosciuti Pi tardi dimo gradi di libert dunque lo spazio delle fasi ha di. strer che genericamente le equazioni di New mensione 6N Il sistema isolato quindi l ener. ton non hanno integrali del moto diversi dall e gia totale si conserva questo integrale del moto. nergia Dunque il metodo della ricerca degli inte confina la dinamica ad uno spazio di dimensio. grali del moto non aveva la validit generale che ne 6N 1. gli si attribuiva e il comportamento di un sistema I risultati di Poincar ci fanno sospettare che. meccanico appariva improvvisamente molto pi non vi siano altri integrali del moto quindi cia. complesso di quanto si ritenesse La frase di La scuno stato potenzialmente libero di muoversi. place citata sopra rimaneva vera alla lettera ma per tutto lo spazio di dimensione 6N 1 corrispon. le capacit dell intelletto incaricato di sottoporre dente al valore dell energia totale Chiamiamo X. i dati ad analisi dovevano essere ben superiori questo spazio. di quanto immaginasse Laplace10 A questo punto Boltzmann formula la sua famo. sa ipotesi ergodica l evoluzione di un generico, Le idee di Boltzmann stato invade tutto11 lo spazio X trascorrendo pari. frazioni di tempo in regioni di pari volume Qua, Abbiamo ormai tutti gli strumenti per poter segui generico sta a significare che chiediamo che. re il ragionamento con cui Boltzmann spieg la questa propriet valga per tutti gli stati tranne. nascita dell irreversibilit a partire da equazioni che per eventuali stati eccezionali che si richie. reversibili La soluzione di acqua e inchiostro de formino un insieme di volume nullo Anche se. un sistema troppo complicato quindi consideria molto difficile da dimostrare12 si tratta di un ipo. mone uno pi semplice un gas monoatomico tesi ragionevole A favore dell ipotesi che l evolu. dentro un contenitore diviso in due parti uguali zione di un generico stato tenda ad invadere tut. da una parete mobile to X gioca l alta sensibilit del moto alle condi. All inizio il gas occupa zioni iniziali il fatto che piccole differenze nelle. soltanto una met del condizioni iniziali causano grandi differenze nel. contenitore poich la l evoluzione futura a sua volta conseguenza. parete gli impedisce delle miriadi di collisioni tra gli atomi La propor. l accesso all altra zionalit tra il tempo trascorso in una regione ed. met poi la parete viene rimossa e il gas diven il suo volume suggerita dal fatto che come ab. ta libero di espandersi Questo sistema mostra biamo osservato la dinamica su X conserva il. un chiaro comportamento irreversibile una volta volume13 Parecchi anni pi tardi Birkhoff dimo. rimossa la parete il gas si espande in tutto il strer che l ipotesi ergodica equivalente a. contenitore fino a raggiungere una densit uni, forme Non ci aspet 11 Qua tutto non va inteso in senso letterale la tra.
tiamo di vederlo torna iettoria di uno stato una curva regolare ossia. qualcosa di dimensione uno che non pu riempire,re spontaneamente. uno spazio di dimensione pi alta Quello che in, nella met di parten tendiamo che qualunque regione di volume po. za sitivo prima o poi viene visitata dalla traiettoria. Possiamo pensare 12 Non sono molti i sistemi di cui si sappia dimostra. agli atomi che com re rigorosamente l ergodicit Grazie ad un lavoro. pongono il gas come di Sinai del 1963 appartiene a questa classe il. a particelle puntiformi moto di una pallina in un tavolo da biliardo con. tra le quali agisce una ostacoli convessi un sistema che presenta buone. analogie con i gas, 10 Ed bene sottolineare come il paradigma deter 13 In effetti introducendo il Teorema di Liouville ab. minista di Laplace resti valido ancora oggi alme biamo parlato di volume dello spazio delle fasi. no per la maggior parte degli scienziati L introdu non di volume nello spazio X che ha una dimen. zione della meccanica quantistica ci obbliga ad in sione in meno ed in generale uno spazio curvo. terpretare diversamente questo paradigma ma Il fatto che sullo spazio X sia possibile definire un. come abbiamo gi osservato la descrizione di tutti volume conservato dalla dinamica una conse. i fenomeni a scala umana generalmente non ri guenza del Teorema di Liouville questo il volu. chiede la meccanica quantistica me a cui ci stiamo riferendo. chiedere che non sia possibi, le suddividere lo spazio X in L entropia di Boltzmann. due regioni di volume positivo Scegliamo una misurazione macroscopica F da effettuare sul nostro. invarianti per la dinamica I si gas di N particelle ad esempio la densit media del gas nella met. stemi con questa propriet si destra del contenitore Dato che il volume di met recipiente V 2 se. dicono ergodici14 Tornando nella met destra vi sono m particelle F vale 2m V La misurazione F. all esempio del mare come definisce una funzione sullo spazio X degli stati di energia fissata che. spazio delle fasi ergodico assume valori nell intervallo di estremi 0 e 2N V Dividiamo questo in. quel sistema dove i pesciolini tervallo in 5 parti uguali ed usiamo i valori assunti da F per suddividere. nuotano liberamente per tutto X in 5 regioni X1 X2 X3 X4 X5 X1 l insieme di quegli stati dove nella. il mare senza creare zone met destra vi sono meno di N 5 particelle X2 l insieme dove ve ne. sono da N 5 a 2N 5 e cos via Qui stiamo semplificando l argomento. dove sono confinati solo alcu in effetti dovremmo suddividere X in un numero molto pi grande di re. ni dei pesciolini gioni ma piccolo rispetto ad N L entropia di Boltzmann di uno stato x. Qual il volume di X e qua appartenente alla regione Xj definita come il logaritmo del volume di. le il volume della regione A Xj,costituita da quegli stati che SB x log vol Xj.
corrispondono alla situazione Usando la definizione semplificata di X introdotta in precedenza il letto. in cui tutto il gas occupa una re invitato a calcolare il volume della regione Xj e a verificare che il. met diciamo quella sinistra rapporto vol Xj vol X pari alla somma dei coefficienti binomiali N. del contenitore Per poter h per h compreso tra j 1 N 5 e jN 5 diviso per 2N Ricordando che i. portare a termine questo cal coefficienti binomiali N h sono grandi per h vicino a N 2 e diventano. colo reso complicato dalla via via pi piccoli quando h decresce verso 0 o cresce verso N ottenia. geometria di X operiamo mo che X3 la regione di volume maggiore quindi pi probabile a. una semplificazione un po cui seguono X2 e X4 ed infine X1 e X5 Quanto pi N grande tanto pi. sono marcate queste differenze Quindi se spostando con un pistone. rozza ma che non snatura gli, tutti gli atomi nella met sinistra portiamo il sistema nello stato di bassa. aspetti salienti di quello che entropia X1 esso si muover spontaneamente verso X2 dove l entropia. sarebbe l approccio corretto maggiore ed infine raggiunger l equilibrio arrivando in X3 la regione. supponiamo che la conserva di entropia massima, zione dell energia totale abbia Boltzman dimostra che quando N molto grande questa entropia. il solo effetto di costringere massima divisa per N coincide con l entropia di Clausius per il siste. ciascuna particella ad avere ma all equilibrio una quantit termodinamica definita a partire da pro. una velocit non superiore ad priet macroscopiche del gas Il fatto che nell evoluzione l entropia di. una certa velocit massima Boltzmann aumenti costituisce una dimostrazione del secondo principio. che indichiamo con M Grazie della termodinamica che viene quindi dedotto dalla meccanica e non. assunto come principio fondamentale Di nuovo l entropia non aumen. a questa semplificazione lo, ta per tutti gli stati iniziali ma per una porzione di essi che al crescere. spazio X ha ancora dimensio di N diventa sempre pi preponderante. ne 6N ed costituito dagli,stati q1 q2 qN v1 v2 vol A V 2 N 4 3 M3 N. vN dove i qj sono vettori posizione che variano,La quantit significativa il rapporto tra questi.
nel contenitore mentre i vettori velocit vj hanno,due volumi. lunghezza al pi M e direzione qualsiasi dunque, variano in una sfera di raggio M Il contributo al vol A vol X 1 2N. volume di X di ciascun qj pari al volume del ovvero il volume di A 2N volte inferiore al volu. contenitore che indichiamo con V mentre quello me di X Dato che il numero N degli atomi di gas. di ciascun vj pari al volume della sfera di rag in un contenitore tipicamente dell ordine di. gio M ossia 4 3 M3 Moltiplicando tra loro tutti 1023 2N un numero spaventosamente grande. questi contributi troviamo che il volume di X un 1 seguito da qualcosa come 3 1022 zeri L i. vol X VN 4 3 M3 N potesi ergodica garantisce che la frazione di. Il calcolo del volume di A la regione di X che tempo che lo stato del sistema trascorre dentro. corrisponde al gas nella met sinistra del conte A 1 2N un numero incredibilmente piccolo An. nitore analogo l unica differenza che ades che senza essere risolte esplicitamente le. so il contributo di ciascun qj pari a met del equazioni di Newton ci dicono che dopo che il. volume del contenitore Otteniamo quindi gas ha abbandonato la met sinistra del reci. piente sar molto improbabile ritrovarvelo nel, 14 Per l etimologia della parola ergodico si veda 2. senso che il tempo che dobbiamo aspettare af que ma se prendiamo una molecola a caso dal. finch ci accada di parecchi ordini di gran bicchiere quasi sicuramente sar una molecola. dezza pi grande dell et dell universo d acqua, La conclusione di Boltzmann che un compor L insieme C ottenuto a partire da B tramite. tamento irreversibile non una conseguenza una semplice riflessione vengono invertite le. inevitabile delle equazioni della meccanica ma velocit quindi continua ad avere la stessa geo. ne una conseguenza altamente probabile e metria Se impostiamo il nostro apparecchio fan. per sistemi con molti gradi di libert questa pro tascientifico su un determinato stato a causa. babilit talmente grande da diventare a tutti gli dei pur minimi errori verr prodotto uno stato vi. effetti pratici una certezza cino Impostandolo su uno stato all interno della. Boltzmann ha anche mostrato come l irreversi regione A lo stato vicino prodotto star ancora. bilit si possa misurare quantitativamente intro in A Invece impostandolo su uno stato di C lo. ducendo il suo concetto di entropia Si veda il ri stato prodotto star quasi certamente fuori da C. quadro nella pagina precedente per ulteriori det e non evolver verso A. Cosa ci impedisce di invertire la freccia del Gli ingredienti dell irreversibilit. tempo con una scelta di condizioni iniziali oppor, tune Supponiamo di disporre di un apparecchio Abbiamo visto che gli ingredienti dell irreversibili.
fantascientifico che ci permetta di far partire cia t sono una certa eccezionalit delle condizioni. scun atomo del gas dalla posizione e con la ve iniziali un gran numero di gradi di libert ed una. locit desiderata con un margine di errore pic sufficiente ergodicit In che misura questi diver. colissimo Partiamo come prima da uno stato si ingredienti concorrono alla formazione della. appartenente ad A l insieme degli stati che de freccia del tempo. scrivono il gas concentrato in met recipiente L eccezionalit delle condizioni iniziali essen. Trascorso un certo periodo di tempo diciamo ziale Nell evoluzione di gas liquidi ed altri siste. dieci secondi lo stato del sistema passato dal mi complessi l irreversibilit si manifesta se pos. la regione iniziale A ad una certa regione B che siamo partire da condizioni iniziali eccezionali. si ottiene facendo evolvere per dieci secondi tutti lontane dall equilibrio e corrispondenti a regioni. gli stati di A e che sappiamo avere lo stesso vo di volume piccolissimo nello spazio delle fasi in. lume Se riuscissimo a portare lo stato del siste altre parole se possiamo partire da stati iniziali di. ma nella regione C ottenuta a partire dagli stati bassa entropia. della regione B invertendo tutte le velocit ve Condizioni iniziali eccezionali permettono la. dremmo un gas che si concentra e in dieci se formazione della freccia del tempo anche in as. condi va ad occupare met del contenitore senza degli altri due ingredienti pensiamo ad. avremmo cos invertito la freccia del tempo La una palla che rotola su un piano orizzontale po. regione C ha ancora lo stesso volume di B quin sto a tre metri di altezza e che alla fine del piano. di lo stesso volume di A Eppure mentre portare cade gi in mano ad un ragazzo Se filmiamo. lo stato nella regione A semplice basta usare questa scena e la rivediamo in reverse vedremo. un pistone neanche l uso del nostro apparec un ragazzo che lancia una palla su di un piano. chio fantascientifico ci consente di portare lo sta posto al di sopra della sua testa con tanta preci. to nella regione C Perch sione che quella arriva con velocit verticale nul. Il motivo sta nella gi menzionata alta sensibili la ed inizia a rotolare senza fare alcun rimbalzo. t alle condizioni iniziali La regione A ha un Chi vedesse il video in reverse sospetterebbe. aspetto piuttosto regolare ha volume piccolissi subito la manipolazione quindi in questo siste. mo e occupa una porzione piccolissima dello ma fa la comparsa una pur debole freccia del. spazio delle fasi Dopo dieci secondi di evoluzio tempo dovuta al fatto che le condizioni iniziali in. ne gli stati di A sono andati ad invadere tutto lo cui la palla ha componente verticale della veloci. spazio delle fasi pur conservando il piccolo vo t nulla formano un insieme di volume trascura. lume che aveva A Ci vuol dire che l insieme B bile nello spazio delle fasi di questo sistema. cos ottenuto risulta molto irregolare quasi rare Per il fatto che qui la dinamica non sia forte. fatto Una buona analogia pensare ad A come mente sensibile alle condizioni iniziali rende pos. ad una goccia di inchiostro appena caduta in un sibile seppure difficile il compito di un ragazzo. bicchiere d acqua e a B come la sua evoluzione che volesse realizzare dal vivo il lancio che si. dopo alcuni istanti quando l inchiostro ha ormai vede nel video in reverse. colorato tutta l acqua l inchiostro si trova ovun Ma come possibile creare condizioni iniziali. eccezionali o con bassa entropia come quella teragenti l irreversibilit si manifesta anche in. di un gas che occupa met di un recipiente Ba questo esperimento. sta che uno sperimentatore spinga un pistone Osservando un gas un liquido o altri sistemi. aumentando leggermente la propria entropia complessi le misurazioni macroscopiche che. che provveder a riabbassare facendo uno possiamo fare sono relativamente poche rispetto. spuntino ossia consumando alimenti a bassa al grande numero di gradi di libert A ciascuna. entropia Alimenti che traggono la loro bassa en di queste misurazioni corrisponde una funzione. tropia dal sole anch esso in una situazione di sullo spazio delle fasi che assume valori vicini. bassa entropia Di questo passo si natural ad un comune valore di equilibrio su gran parte. mente condotti a considerazioni di natura co dello spazio delle fasi e presenta notevoli diffe. smologica e all ipotesi che lo stato iniziale dell u renze soltanto in una regione eccezionale di vo. niverso fosse uno stato di bassa entropia Ne lume piccolissimo Il rapporto tra il volume della. era ben conscio Boltzmann che considerava regione eccezionale e il volume di tutto lo spazio. questa come un ipotesi inevitabile e non deduci esponenzialmente piccolo rispetto al numero. bile da principi pi fondamentali Cosmologi mo dei gradi di libert Solo alle zone eccezionali si. derni come Roger Penrose nutrono la speran deve applicare l ipotesi ergodica se anche que. za di poter dedurre la bassa entropia dell univer sta non fosse valida in senso stretto ma le zone. so del big bang da principi pi basilari eccezionali venissero visitate cento mille un mi. Abbiamo usato l ipotesi ergodica per giustifica lione di volte pi spesso di quanto previsto dal. re il fatto che il volume di una regione dello spa l ergodicit il loro volume talmente piccolo che. zio delle fasi sia proporzionale alla probabilit la probabilit che una volta raggiunto il valore di. che la traiettoria di un generico stato si trovi ad equilibrio il sistema possa discostarsene tra. un dato istante in tale regione Eppure i sistemi scurabile. con un gran numero di gradi di libert mostrano Per sistemi con pochi gradi di libert comporta. comportamenti irreversibili anche senza esibire menti irreversibili in ogni caso quantitativamente. una vera ergodicit nel senso matematico del diversi da quelli di sistemi con molti gradi di li. termine Un gas i cui atomi non interagiscono tra bert possono apparire solamente in presenza. loro costituisce un sistema che ergodico non di buone propriet ergodiche Immaginiamo di. dato che la velocit di ciascun atomo un inte vedere in un video 15 palle numerate ed una. grale del moto eppure non lo vedremo tornare bianca rimbalzare tra loro e sulle sponde di un. ad occupare la met recipiente da cui era parti tavolo da biliardo Ad un certo punto le palle nu. to15 Il motivo che questo sistema in un certo merate si riuniscono a formare un triangolo da. senso ergodico rispetto alla misurazione che cui viene sparata fuori la palla bianca Anche chi. stiamo facendo quella di contare il numero del non ha mai visto una spaccata nel biliardo all a. le particelle contenute in met recipiente Facen mericana intuir che sta vedendo un video in re. do altri tipi di esperimenti con questo gas non verse Qui i gradi di libert trascurando le rota. vedremmo comparire alcuna freccia del tempo zioni delle palle attorno ai loro assi sono sola. Mescoliamo due quantit di gas la prima com mente 32 ma grazie all ergodicit e alla scelta di. posta da atomi le cui velocit sono distribuite vi una condizione iniziale particolarissima sono. cino ad un certo valore medio va la seconda in sufficienti alla formazione della freccia del tem. cui la distribuzione delle velocit vicina ad un po. valore medio vb diverso da va Se gli atomi non, interagiscono le velocit si conservano e sar Le reazioni a Boltzmann. possibile in futuro separare nuovamente le due, quantit di gas Qua l irreversibilit non appare Le idee di Boltzmann incontrarono una generale. Se invece gli atomi interagiscono le loro velocit ostilit presso i contemporanei Particolarmente. tenderanno ad assumere una distribuzione critici furono Loschmidt Mach Zermelo e vi fu. Gaussiana la curva dalla classica forma a cam rono incomprensioni anche da parte di chi come. pana attorno ad un valore intermedio tra va e i coniugi Erhenfest sostennero e svilupparono le. vb un altro risultato descritto quantitativamente idee di Boltzmann. da Boltzmann Separare gli atomi dei due gas Zermelo in particolare critic l approccio di Boltz. diventa quindi impossibile in un gas di atomi in mann in base al teorema di ricorrenza di Poin. 15 Per in questo caso l apparecchio fantascientifico car Si tratta di un teorema molto generale che. del capitolo precedente ci permetterebbe di inver afferma che se lo spazio X ha volume finito e la. tire la freccia del tempo dinamica su X conserva il volume allora un ge. nerico stato di una qualunque regione A ritorna go a quello del modello probabilistico degli. in A per tempi arbitrariamente grandi come pri Erhenfest. ma generico significa che ci accade a tutti gli Naturalmente altri contemporanei condivideva. stati di A tranne che eventualmente a stati no le idee di Boltzmann sul ruolo della probabili. appartenenti ad una regione di volume nullo t nelle scienze esatte Non saprei trovare paro. Secondo Zermelo questo fatto esclude la possi le migliori di quelle di Poincar per descrivere. bilit di dedurre un comportamento irreversibile questo ruolo. da un modello meccanico come quello studiato, da Boltzmann Boltzmann non ebbe difficolt a Una causa minima che ci sfugge determina un. rispondere a questa critica mostrando che nei effetto considerevole del quale non possiamo. sistemi da lui considerati il tempo di ricorrenza non accorgerci diciamo allora che questo effet. previsto dal teorema di Poincar astronomica to dovuto al caso Se conoscessimo con esat. mente grande In effetti il tempo di ricorrenza per tezza le leggi della natura e lo stato dell universo. la regione A inversamente proporzionale al vo all istante iniziale potremmo prevedere quale. lume di A e cresce all aumentare delle propriet sar lo stato di questo stesso universo ad un. ergodiche del sistema Perci un gran numero di istante successivo Ma quand anche le leggi na. gradi di libert responsabile della piccolezza turali non avessero per noi pi segreti potremo. dei volumi delle regioni dove il sistema lontano conoscere lo stato iniziale soltanto approssima. dall equilibrio e o una buona ergodicit annulla tivamente Se ci ci permette di conoscere lo. no per scale di tempo fisicamente ragionevoli gli stato successivo con la stessa approssimazio. effetti della ricorrenza ne non abbiamo bisogno d altro e diremo che il. Altre critiche ed incomprensioni derivarono in fenomeno stato previsto che esistono leggi. vece da ci che oggi riconosciuto come un al che lo governano Ma non sempre cos pu. tro dei grandi meriti dello scienziato austriaco succedere che piccole differenze nelle condizio. l uso della probabilit nello studio dei sistemi de ni iniziali generino differenze grandissime nei fe. terministici Il comportamento irreversibile del nomeni finali un piccolo errore a proposito delle. gas nel recipiente diviso in due parti pu essere prime genererebbe allora un errore enorme a. spiegato in maniera molto semplice ricorrendo a proposito di questi ultimi La previsione diventa. modelli probabilistici come quello che gli Erhen impossibile siamo di fronte al fenomeno fortuito. fest proposero per illustrare le idee di Boltz, mann si immagina che gli N atomi siano nume E soprattutto. rati che ad ogni istante venga estratto a sorte, un numero da 1 a N e che l atomo corrisponden Mi chiedete di prevedere i fenomeni che stanno.
te venga spostato dalla met del recipiente in per verificarsi Se per disgrazia conoscessi le. cui si trova nell altra Se all inizio gli atomi sono leggi di questi fenomeni non sarei in grado di. tutti a sinistra la prima estrazione comporter lo farlo se non a prezzo di calcoli inestricabili e do. spostamento di uno degli atomi a destra Al se vrei rinunciare a rispondervi ma siccome ho la. condo istante sar molto improbabile che venga fortuna di ignorarle vi risponder immediata. estratto lo stesso numero quindi sar molto pro mente E quel che vi di pi straordinario in tut. babile che un secondo atomo da sinistra si spo to ci che la mia risposta sar corretta 16. sti a destra Finch a destra non vi un numero, di atomi paragonabile a quello degli atomi pre Critiche a Boltzmann e ricerche di soluzioni al. senti a sinistra sar molto probabile che l atomo ternative sono proseguite anche in anni pi re. sorteggiato stia da quest ultima parte e si osser centi Tra i critici pi noti i filosofi Bergson Pop. ver un flusso di atomi da sinistra a destra Una per Feyerabend e il premio Nobel per la chimica. volta raggiunto l equilibrio gli spostamenti da si Prigogine l articolo 1 contiene un analisi rigoro. nistra a destra e da destra a sinistra saranno sa di queste critiche ed una difesa delle idee di. ugualmente probabili e l equilibrio si manterr Boltzmann il libro 4 esprime una posizione op. Questo modello descrive abbastanza bene il posta,comportamento di un gas per a prima vista. appare molto lontano dalle equazioni determini,stiche che sappiamo regolare il moto degli ato. 16 Henri Poincar Le hasard Revue du mois 1907,mi Eppure le idee di Boltzmann permettono di. Riprodotto in traduzione italiana nella raccolta di. dimostrare che un sistema che obbedisce a que scritti di Poincar Geometria e Caso Bollati Borin. ste equazioni esibisce un comportamento analo ghieri 1995. Stabilit inaspettate Il riquadro a pagina 5 mostra come lo spazio. delle fasi di un sistema completamente integra, Per conto nostro ci dichiariamo pi che soddi bile sia foliato da tori invarianti per la dinamica.
sfatti dalla spiegazione di Boltzmann Ma se l o Su ciascun toro la dinamica data da moti qua. rigine dei comportamenti irreversibili ci chiara si periodici ottenuti cio combinando n rotazioni. cosa dire di quei sistemi dove l irreversibilit non indipendenti con frequenze 1 2 n date. si presenta Al pendolo a forma di cavaliere cer dal valore degli integrali del moto su quel toro. tamente mancano i requisiti fondamentali si trat La teoria KAM dimostra che nel sistema pertur. ta di un sistema completamente integrabile con bato i tori invarianti corrispondenti a frequenze. pochi gradi di libert Per come mai sistemi in rapporto molto irrazionale sopravvivono ma. complessi come i sistemi planetari o le galassie gari un po modificati mentre gli altri tori vengo. seguono moti che ci appaiono reversibili no distrutti Vediamo cosa si intenda per fre. Il nostro sistema solare contiene una miriade di quenze in rapporto molto irrazionale limitando. asteroidi concentrati essenzialmente tra le orbi, te di Marte e di Giove Perch le interazioni tra I numeri diofantei. loro e quelle con i pianeti non fanno s che gli, asteroidi si distribuiscano per tutto il sistema so Ogni numero irrazionale approssimabile con la. precisione desiderata da un numero razionale ma, al costo di scegliere il denominatore di quest ultimo. Un altro esempio nasce da una delle prime si sufficientemente grande Ad esempio se q un in. mulazioni al computer quella che Fermi Pasta e tero positivo possiamo approssimare a meno di. Ulam realizzarono nell estate del 1953 con il 1 q con un razionale che ha per denominatore pro. MANIAC uno dei primi computer mai costruiti I prio q come il lettore potr facilmente verificare. tre scienziati simularono l evoluzione di un siste Pi impegnativo dimostrare il risultato seguente. ma costituito da un gran numero di oscillatori ar dovuto a Liouville per ogni numero reale esiste. monici accoppiati da deboli forze non lineari Gli una successione di interi positivi qh che cresce in. accoppiamenti ancorch deboli distruggono la definitamente ed esistono interi ph tali che. completa integrabilit del sistema disaccoppiato ph qh 1 qh2. e visto il gran numero di gradi di libert ci si Dire che Diofanteo significa che questo ordine. aspettava di assistere ad una rapida equiparti di approssimazione non migliorabile di molto Pi. zione dell energia eccitando inizialmente solo precisamente Diofanteo se esistono numeri. alcuni dei pendoli la loro energia doveva tra 2 e 0 tali che. smettersi agli altri in modo da raggiungere pre p q q. sto un equilibrio in cui tutti gli oscillatori hanno per ogni scelta del numero razionale p q. pressappoco la stessa energia Invece nella si Scoprendo un inaspettato collegamento tra la. mulazione di Fermi Pasta e Ulam questa con teoria dei numeri e la meccanica la teoria KAM. vergenza all equilibrio non sembrava manifestar dimostra che nei sistemi con due gradi di libert. si sono i tori con rapporto tra le frequenze Diofanteo. Nel 1954 il matematico russo Kolmogorov sco a sopravvivere alle piccole perturbazioni. pr un nuovo aspetto dei sistemi meccanici che, poteva spiegare questi fenomeni I suoi risultati ci per semplicit al caso n 2 In questo caso le. furono migliorati da Arnold e Moser nel decennio frequenze sono soltanto due e stiamo chiedendo. successivo andando a formare quella che ades che il loro rapporto 1 2 sia un numero irrazio. so si chiama teoria KAM dalle iniziali dei tre ma nale che si approssima male con numeri razio. tematici nali Tecnicamente chiediamo che 1 2 sia un. La teoria KAM riguarda sistemi che possono numero Diofanteo Si veda il riquadro nella pagi. essere visti come piccole perturbazioni di siste na precedente per la definizione precisa. mi completamente integrabili sono di questo Dunque in un sistema vicino ad uno completa. tipo tanto il sistema studiato da Fermi Pasta e mente integrabile una gran parte dei tori inva. Ulam quanto i sistemi planetari dato che la rianti e dei relativi moti quasi periodici sopravvi. grande differenza fra le masse in gioco fa s che ve mentre altri vengono distrutti lasciando alcu. le interazioni tra i corpi in orbita siano di gran ni stati liberi di seguire moti molto complicati La. lunga pi deboli delle loro interazioni con la stel figura seguente mostra una sezione dello spazio. la centrale e dato che il sistema in cui si consi delle fasi di un sistema di questo tipo in blu. derano solo queste ultime completamente in sono rappresentati gli stati che appartengono a. tegrabile tori sopravvissuti in rosso gli altri stati. q1 Q 2 v1 V 2 S2 2,dove il numero S inferiore ad R ed il nuovo.
livello di precisione desiderato qua Q e V sono,le nuove stime per q1 e v1 Il teorema di Liouvil. le non ci impedisce di realizzare una evoluzione,di questo tipo Infatti la regione definita dalle. equazioni 1 ha volume finito17 mentre quella,definita dalla 2 ha volume infinito dato che tut. te le variabili qj e vj con j 2 sono libere questa. regione deve essere pensata come un cilindro, infinito avente per base il cerchio di raggio S nel. le variabili q1 e v1 certamente possibile man,dare una regione di volume finito dentro una di.
volume finito tramite una trasformazione che,conservi il volume. Quanto pi piccola la perturbazione del siste Eppure nel 1985 il matematico russo Mikhail. ma completamente integrabile tanto maggiore Gromov ha dimostrato che se S R nessuna. il volume occupato da quei tori che sopravvivo trasformazione della meccanica18 pu mandare. no Sistemi di questo tipo per quanto non abbia la regione definita dalle equazioni 1 dentro. no in generale integrali del moto diversi dall e quella definita dalla 2 Si noti che sarebbe in. nergia sono molto lontani dall ergodicit gli stati vece molto semplice migliorare la conoscenza di. che appartengono ad uno dei molti tori che so tutte le posizioni q1 q2 qn a scapito di tutte. pravvivono vi rimarranno confinati per sempre le velocit v1 v2 vn come pure il viceversa. dando origine a moti quasi periodici e senza far Parte del fascino di questo teorema dovuta. nascere alcuna freccia del tempo ad una suggestiva analogia con uno dei principi. fondamentali della meccanica quantistica il, Misurare posizione e velocit principio di indeterminazione di Heisenberg. Esso afferma che mentre possibile misurare, Concludiamo questo nostro excursus nella mec la posizione oppure la velocit di una particella. canica parlando di un teorema importante an con precisione arbitraria non possibile misu. che se non direttamente collegato al problema rarle entrambe con una precisione congiunta. dell irreversibilit che superi una certa soglia Per quanto imper. Consideriamo un sistema meccanico con n 2 fetta nella meccanica classica non appare una. gradi di libert Supponiamo di conoscere lo sta soglia privilegiata l analogia con il teorema di. to del sistema a meno di una precisione R in tut Gromov evidente. te le coppie di variabili posizione velocit Que Nel teorema di Gromov si parte da una precisio. sto significa che se valutiamo che lo stato del si ne uniforme data dal numero R su tutte le va. stema sia Q1 Q2 Qn V1 V2 Vn lo sta riabili Se invece la precisione iniziale non uni. to vero un certo q1 q2 qn v1 v2 vn forme si aprono nuove possibilit come ha mo. dove strato nel 2006 il matematico americano Larry. qj Qj 2 vj Vj 2 R2 1 Guth costruendo una trasformazione meccanica. dalle propriet inaspettate In un sistema con tre, per ogni j da 1 a n Vorremmo far evolvere lo particelle conosciamo la posizione e la velocit. stato del sistema in modo da migliorare contem della prima con ottima precisione data da un. poraneamente la nostra conoscenza di una cop numero arbitrariamente piccolo mentre cono. pia di variabili posizione velocit per fissare le, idee la q1 e la v1 Per esempio potremmo voler 17 La coppia di variabili qj vj varia in un cerchio di.
conoscere meglio la componente verticale della raggio R che ha area R2 Il volume della regio. posizione e della velocit di una determinata ne individuata dalle disuguaglianze 1 si ottiene. particella Per realizzare ci occorre che l evolu moltiplicando tra loro i contributi di ciascuna delle. zione temporale del sistema porti la regione de n coppie di variabili quindi pari a R2 n. finita dalle n disuguaglianze 1 nella regione co 18 Qua per trasformazione della meccanica si inten. de la trasformazione Tt associata ad un sistema,stituita dagli stati q1 q2 qn v1 v2 vn. anche pi generale di quello definito dalle equa, che verificano la sola disuguaglianza zioni di Newton ovvero un sistema Hamiltoniano. dipendente dal tempo, sciamo la posizione e la velocit delle altre due Le equazioni sono sempre le stesse ma la loro. particelle con precisione media diciamo di ordi struttura talmente ricca che le idee sulle loro. ne 1 La trasformazione di Guth permette di gua implicazioni per non parlare delle tecniche nel. dagnare un ottima precisione sulla conoscenza l affrontarle sono mutate profondamente New. di posizione e velocit della seconda particella ton Laplace Liouville Poincar Boltzmann. senza per questo perdere significativamente Kolmogorov Arnold Moser e Gromov sono sol. quella sulla prima e al solo scapito di quella sulla tanto alcuni dei protagonisti di un avvenura intel. terza Pi quantitativamente alla fine della tra lettuale che promette di proseguire ancora per. sformazione la posizione e la velocit della pri molti anni. ma particella risultano note con precisione 2, quelle della seconda con precisione 10 men Bibliografia. tre quelle della terza sono essenzialmente igno, te Ricorrendo ad un analogia chimica possiamo 1 J Bricmont Science in chaos or chaos in.
dire che la prima particella si comporta come un science in The flight from science and rea. catalizzatore mentre la terza un prodotto di son Annals of the New York Academy of. scarto Science 79 1996 pag 131 Reperibile all indi. rizzo web http arxiv org abs chao dyn 9603009,N il teorema di Gromov n la costruzione di. Guth hanno ancora trovato significative applica 2 G Gallavotti Meccanica statistica voce per. zioni fisiche ma mostrano quanta ricchezza si la Enciclopedia delle scienze fisiche edita dalla. celi nelle equazioni della meccanica Equazioni Enciclopedia Italiana vol III pag 723 740. che matematici e fisici guardano da oltre tre se 1993. coli In questi tre secoli molti altri principi e molte 3 J Lebowitz Boltzmann entropy and time s. altre equazioni sono stati introdotti per spiegare i arrow Physics Today 1993 pag 32 38 Repe. fenomeni che accadono alle scale subatomiche ribile all indirizzo web http www math rutgers edu. o astronomiche Eppure le equazioni scritte da lebowitz PUBLIST lebowitz 370 pdf. Newton conservano la loro validit nella descri, zione di una vastissima gamma di fenomeni Per 4 I Prigogine La fine delle certezze Bollati Bo. questo matematici e fisici continuano a studiarle ringhieri 1997. e generazione dopo generazione vi scoprono, qualcosa di nuovo 5 D Ruelle Caso e caos Bollati Boringhieri.

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