Gu A 3 Teor A De Pertubaciones Tiempo Independiente-Books Pdf

Gu a 3 Teor a de pertubaciones tiempo independiente
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b Al resolver de manera perturbativa el Hamiltoniano. H H0 H 0 1 perturbation on 0 perturbation off, se pueden hallar las funciones de onda n i y los niveles de energ a En asociados al problema. H n i En n i,n i n 0 i n 1 i 2 n 2 i En En 0 En 1 En 2. Demuestre que,En 1 h n 0 H 0 n 0 i 0,X h m H 0 n i 2 X 2. 8eEx L2 1 1 1 n m,En 2 n2 m2,E1 2 n2 m2 5,para ello use las siguientes integrales. x sin2 x L dx 0,8L2 nm 1 1 1 m n,sin x L x sin x L dx 2.
L 2L 2L n2 m2 2, c Usando 1 demuestre que para n 1 a segundo orden en teor a de perturbaciones se obtiene. con 0 004 para ello use el siguiente resultado,X m2 4 5 2. 1 4m 12288 4096, esto quiere decir que la perturbacio n disminuye la energ a del ground state del sistema. 3 Oscilador Armo nico perturbado con x4, Considere un oscilador armo nico unidimensional cuyo Hamiltoniano esta dado por. sabemos que al resolver el problema de autovalores. H0 n 0 i En 0 n 0 i, se obtiene que los niveles de energ a esta n dados por.
En n n 0 1 2 3, y que usando los operadores de creacio n y destruccio n definidos como. a x p a x p, respectivamente se puede escribir el hamiltoniano del sistema como. donde la accio n de estos operadores sobre la base de funciones de onda n i esta dada por. a n 0 i n 1 n 1 i a n 0 i n n 1 i, Considere que el sistema es perturbado con un Hamiltoniano de la forma H 0 x4 demuestre que usando. teor a de perturbaciones no degenerada a segundo orden y un sistema de unidades en donde 2m 1. la correccio n a la energ a del ground state estara dada por. 0 1 2 3 21,E0 E0 E0 2 E0 1 2, Para resolver este problema se recomienda expresar. a a 4 a a 4, y usar la accio n de los operadores de subida y bajada al momento de calcular valores de expectacio n Note.
que la u ltima igualdad se debe u nicamente a las unidades utilizadas. 4 Solucio n exacta v s teor a de perturbaciones,Considere el siguiente Hamiltoniano. H H0 H H0 H0, a Resuelva el problema de autovalores de manera exacta es decir resuelva. H n i En n i,y demuestre que,E1 1 1 tan2 1 1 tan2,E2 1 1 tan2 1 1 tan2. y que los autofunciones de onda son,cos 2 i sin 2,i sin 2 cos 2. b Ahora use teor a de perturbaciones primero resuelva el problema. H0 n 0 i En 0 n 0 i, y luego con ello encuentre las correcciones a primer y segundo orden de la energ a es decir.
En En 0 En 1 2 En 0,encuentre En y En para n 1 2, c Compare el resultado exacto con el resultado perturbativo para ello expanda en series de Taylor. en resultado exacto usando que,1 x 1 x para x tan2 1. esto quiere decir que a 1 2 1 lo que se puede justificar al considerar que H 0 es una pertur. bacio n al Hamiltoniano H0 cuando a i i 1 2, 5 Ecuacio n secular perturbaciones con degeneracio n f. Supongamos que queremos resolver la ecuacio n de Schro dinger. H n i En n i H H0 H 0, siendo H 0 H0 la perturbacio n En el caso degenerado se tiene que H0 i i E1 i i para. i 1 2 f es decir,1 i 2 i f i f 1 i f 2 i,estados con la misma energ a E1.
estados con diferente energ a,usando la expansio n. n i ai i i ai C, y luego reemplaza ndola en la ecuacio n de Schro dinger H n i En n i usando la ortogonalidad de las. funciones de onda i e h j i i ji y ocupando,H0 i i E 1 i i i 1 2 f. demuestre que se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones. aj E1 En Hji ai Hji 0,Hji h j H 0 i i, dado que queremos resolver este sistema matricial para los coeficientes ai de manera de no obtener solu. ciones triviales imponiendo que el determinando del sistema sea igual a cero deduzca la famosa ecuacio n. E1 En H11 H12 H1f,H21 E1 En H22 H2f,0 ecuacio n secular.
H1f H2f E1 En Hf0 f, donde se tiene que hallar En como solucio n de este determinante. 6 Rotor Cua ntico, Considere dos part culas de igual masa que esta n separadas a una distancia d fija ambas partc ulas tienen. cargas opuestas y por ende forman un dipolo ele ctrico Este dipolo ele ctrico puede rotar en el plano XY con. respecto al eje que pasa por su centro tal como se muestra en la figura. Como el rotor puede girar entonces su Hamiltoniano H0 esta asociado a su energ a rotacional de esta manera. donde L r p es el momentum angular e I es su momento de inercia Usando coordenadas polares y. promoviendo p i se obtiene que, Suponga que en cierto momento se coloca un campo ele ctrico de bil E Ex x que genera una interaccio n. dipolar ele ctrica dada por el Hamiltoniano,H 0 QdEx cos. a Resuelva el problema H0 n i En n i y demuestre que las autofunciones de onda normal. izadas del rotor cua ntico esta n dadas por,n 0 i ein n 0 1 2.
y que los niveles de energ a son simplemente,En 0 n 0 1 2. b Dado que todas las funciones de onda n i poseen la misma energ a entonces estamos bajo un. problema con doble degeneracio n donde H H0 H 0 Usando teor a de perturbaciones degeneradas. 1 i ein 2 i e in, calcule los elementos de matrices H11 H22 y H12 y usando la ecuacio n secular para E1 E n. encuentre los niveles de energ a En que son los niveles de energ a tales que H n i En n i. c Usando la ecuacio n,aj Ek En Hji ai Hji 0, encuentre los coeficientes aj una vez que ya ha encontrado las dos soluciones para En Estos coefi. cientes nos permiten escribir, y as construir un autoestado del Hamiltoniano completo H H0 H 0 cuya energ a es En halladas. en la parte b, 7 Perturbaciones con degeneracio n triple La caja cua ntica 3D.
Considere un pozo de potencial cu bico de largo L cuyas autofunciones de onda esta dadas por. i sin sin sin, donde 0 x L 0 y L y 0 z L Los niveles de energ a esta n dados por. En 0 n2 n22 n23, en este sistema se observa que el primer estado excitado posee degeneracio n triple en otras palabras las. funciones de onda,1 i 112 i 2 i 121 i 3 i 211 i, poseen la misma energ a puesto que E1 E112 E121 E211 3 mL 2 Supongamos que se introduce la. perturbacio n,0 V0 si 0 x a 2 0 y a 2,0 en cualquier otro lugar. de modo que H H0 H 0 Usando la ecuacio n secular para f 3 demuestre que. E1 3 1 k V40 para 2 i,1 k V40 para 3 i,donde k 8 3 2.
8 Red Balmer line Fine Structure, Considere el a tomo de Hidro geno y todas las transiciones posibles de n 3 hacia n 2 debidas a la. estructura fina Recuerde que la correccio n perturbativa a primer orden de la estructura fina esta dada por. Enj hHsf i 3,En n 1 2 3, es el espectro del a tomo de Hidro geno sin perturbar Para resolver este problema haga lo siguiente. a Primero calcule todas las energ as posibles para n 2 y n 3 para ello recuerde que. l 0 n 1 j l 1 2 l 1 2, donde el nu mero cua ntico J L S es el momentum angular total siendo L el momentum angular. orbital y S el momentum angular de spin del electro n s 1 2. b Luego encuentre las 6 transiciones posibles desde n 3 hacia n 2 dibu jelas todas y encuentre. la frecuencia del foto n emitido en cada transicio n. 9 Hyperfine Splitting The 21 cm line in Astrophysics. El hamiltoniano de la estructura hiperfina esta dado por. 0 0 ge2 1 0 ge2,3 S p r S e r S p S e S p S e 3 r,8 mp me r 3mp me. donde S p y S e son los operadores de spin del proto n y el electro n respectivamente El factor g 2 Usando. teor a de perturbaciones tiempo independiente no degeneradas para el caso en que quiere perturbar el estado. fundamental del a tomo de Hidro geno es decir cuando el a tomo se encuentra en el estado. 100 i R10 r Y00 e r a, usted puede hallar la correccio n a primer orden debido a este Hamiltoniano para ello haga lo siguiente.
a Calcule el valor expectacio n hHhs i usando el estado 100 i para ello primero demuestre que. a r b r sin d d a b a b R3, use r sin cos sin cos cos Usando esta identidad demuestre que por un parte. h 3 S p r S e r S p S e i 0,b Ahora demuestre que,hHhs i S S 1. 3mp m2e c2 a4 2 2,para tendra que usar el radio de Bohr dado por. y la relacio n 0 0 c 2 Adema s le sera u til trabajar con el operador de spin del sistema electro n. proto n S S p S e de modo que, c Demuestre que el foto n emitido en la transicio n del estado triplete S 1 al estado singlete S 0. tiene una longitud de onda,que es la famosa l nea,.
Pontificia Universidad Cat olica de Chile Facultad de F sica FIZ 0412 Mec anica Cu antica Profesor Max Banados Ayudantes Ariel Norambuena ainoramb uc cl Gu a 3 Teor a de pertubaciones tiempo independiente 3 de Mayo de 2013 1 Funci on de onda a segundo orden caso no degenerado Demuestre que la correcci on a segundo orden de la funci on de onda en teor a de perturbaciones no degenerada est

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