F Sica At Omica Y Materia Condensada Asaf-Books Pdf

F sica At omica y Materia Condensada Asaf
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I ndice Asaf Paris Mandoki,3 4 Te rmino espestrosco pico 35. 3 5 Me todo variacional 36,3 6 Diagrama de niveles 36. 4 A tomos de varios electrones 36,4 1 Metales alcalinos 38. 4 2 La tabla perio dica 39,Reglas de configuracio n electro nica 41. Reglas de Hund 41, 5 Interaccio n de a tomos con campos esta ticos 43.
5 1 Efecto Zeeman 43,Efecto Zeeman para campo de bil 44. Efecto Zeeman para campo fuerte 45,Efecto Zeeman para campo intermedio 46. 5 2 Campo ele ctrico esta tico 47,Paridad y el operador dipolar 47. Efecto Stark cuadra tico 49,Efecto Stark lineal 49. 6 Interaccio n de a tomos con ondas electromagne ticas 49. 6 1 Reglas de seleccio n 50,Transiciones 51,Transiciones 51.
Integrando respecto a 51,6 2 A tomo de dos niveles 52. Coeficientes A y B de Einsten 52, A tomo cua ntico y luz cla sica evolucio n coherente 55. A tomo de dos niveles usando matriz de densidad evolucio n incoherente 59. Efectos meca nicos de la luz sobre los a tomos 61,6 3 Aplicacio n enfriamiento la ser 63. Melaza o ptica 63,Trampa magneto o ptica 64,Desacelerador Zeeman 65. 7 Mole culas 68,7 1 Enlaces Qu micos 68,Enlace Io nico 68.
Enlace covalente 69,El ion H2 70,Potenciales moleculares 72. Otros Orbitales Moleculares 73,Fuerzas de van der Waals 77. Enlace meta lico 79,I ndice Asaf Paris Mandoki,Puentes de hidro geno 79. 8 Estado so lido cadenas y redes de a tomos 82, 8 1 Vibraciones en una cadena unidimensional de a tomos iguales 82. Cuantizacio n 84, 8 2 Vibraciones en una cadena unidimensional con dos a tomos distintos al.
ternados 85,9 La malla rec proca 85,La malla rec proca en una dimensio n s ntesis 85. Definicio n general de malla rec proca 86,10 Electrones en un potencial perio dico 86. 10 1 Electrones casi libres 87,Teor a de perturbaciones degenerada 88. 10 2 El teorema de Bloch 90,Implicaciones del teorema de Bloch 93. 10 3 Estructura de bandas y propiedades o pticas de los so lidos 93. Bandas en dos dimensiones malla cuadrada 95,Celdas monovalentes 96.
Celdas bivalentes 97,Deficiencias de la teor a de bandas 97. Propiedades o pticas de los so lidos 98,10 4 Dina mica de electrones en bandas 99. Electrones 100,Huecos 101,Propiedades ele ctricas de materiales 101. 11 Magnetismo 104, 1 Repaso de meca nica cua ntica Asaf Paris Mandoki. 1 Repaso de meca nica cua ntica, En esta primera seccio n haremos un repaso de los conceptos de meca nica cua ntica ma s.
esenciales para este curso,1 1 Notacio n de Dirac, En la literatura moderna de meca nica cua ntica la notacio n de brakets de Dirac se. ha convertido en la notacio n esta ndar Por esto haremos una revisio n ra pida de esta. notacio n Un vector en un espacio de Hilbert se denota con un ket como. donde puede ser cualquier s mbolo utilizado para etiquetar al vector De manera. similar se puede denotar a un vector dual o vector conjugado Hermitiano con un bra. Al producto interno entre estos vectores se le denomina braket y se denota como. Tambie n se puede definir un producto exterior, que resulta ser un operador El resultado de aplicar este operador a un ket i es. i h i i h i, Es decir obtenemos el ket i multiplicado por el escalar h i El transpuesto conjugado. tambie n llamado conjugado Hermitiano de un bra es un ket y vice versa. En el caso de dimensio n finita podemos denotar a los bras y kets como vectores de la. siguiente manera, As el producto interno se puede calcular con el producto matricial y toma la forma. h i 1 1 N N, 1 Repaso de meca nica cua ntica Asaf Paris Mandoki.
El producto exterior tambie n puede calcularse con el producto matricial del siguiente. 1 2 Principios, El estado de un sistema cua ntico esta asociado a un vector unitario dentro de un. espacio de Hilbert H complejo Usando la notacio n de bra ket de Dirac e ste se. representa como i, Los observables de dicho sistema esta n asociados a operadores lineales A hermitia. nos A es igual a su transpuesto conjugado, El valor esperado de un observable A para un sistema en estado i esta dado. por el producto interno h A i La condicio n de hermiticidad es necesaria para. garantizar que los valores esperados sean reales, Si i y i son estados posibles del sistema tambie n la combinacio n lineal de ellos. a i b i es un estado posible si se mantiene la condicio n de normalizacio n a 2 b 2. 1 Si un sistema se encuentra en dicho estado de superposicio n al medir en cua l de los dos. se encuentra existe una probabilidad a 2 de obtener el resultado i y una probabilidad. b 2 de obtener i Una vez terminada la medicio n el estado del sistema se colapsa. al estado obtenido en la medicio n, Dado que i pertenece a un espacio vectorial y los operadores de intere s A son.
operadores lineales es posible representarlos como vectores y matrices respectivamente. Para hacer esto es necesario primero elegir una base para el espacio H Siendo ii. una base ortonormal todos los elementos ortogonales entre s y de norma uno podemos. escribir a i como combinacio n lineal de elementos de esta base. Podemos encontrar el valor de la j e sima componente del vector i al calcular el pro. ducto interno con un bra hj en ambos lados de la ecuacio n anterior. hj i j ci hj ii ci ji cj,donde usamos la delta de Kronecker ij. Por otro lado las componentes de la matriz que representa A son. Aij hi A ji, 1 Repaso de meca nica cua ntica Asaf Paris Mandoki. Una propiedad muy u til de las bases ortonormales es la de completitud Esto es que. podemos escribir el operador identidad como,El vector de estado en la base de posicio n. Una base de particular intere s es la base de kets de posicio n xi E stos son eigenvectores. del operador de posicio n y por tanto satisfacen X xi x xi Esta n normalizados de tal. modo que hx x0 i x x0 con x la delta de Dirac, Es importante notar que esta base es infinita y no numberable Si representamos un. estado i en esta base obtenemos la funcio n de onda. Esta base tambie n satisface la propiedad de completitud sustituyendo la suma por. una integral Z,1 dx xi hx, Esto nos permite encontrar fa cilmente una expresio n para el producto interior en esta.
h i h 1 i h dx xi hx i dx h xi hx i dx x x, De manera ana loga si un operador A depende del operador de posicio n x como A f x. entonces Z,h A i dx x f x x,El operador de densidad. En cursos ba sicos de meca nica cua ntica se usa el vector i para representar el estado. del sistema Sin embargo cuando hablamos de ensambles de sistemas cua nticos la re. presentacio n de operador de densidad para el estado cua ntico resultara ma s u til Un. ensamble puro es por definicio n una coleccio n de sistemas en el que todos los miembros. esta n en el estado i En este caso el operador densidad se define como el producto. A este tipo de estado se le conoce como estado puro No tese que en este caso tanto. i como contienen la misma informacio n, En contraste un ensamble en el que una fraccio n p1 de la poblacio n esta en el estado. 1 i una fraccio n p2 esta en el estado 2 i etc el operador densidad toma la forma. pi i i h i, 1 Repaso de meca nica cua ntica Asaf Paris Mandoki. con la condicio n de normalizacio n X, para garantizar que el sistema este en alguno de estos estados Este tipo de estados son.
conocidos como estados mezclados, Un estado puro puede representarse como vector o bien como operador de densidad. mientras que un estado mezclado so lo puede ser representado como operador de densidad. El valor esperado de un observable A en un sistema caracterizado por un operador de. densidad esta dado por la traza,Tr A hi A ii, donde la suma es sobre todos los elementos de la base. Ejemplos El estado i 0i 1i 2 puede ser escrito en forma de operador de. densidad como,0i h0 0i h1 1i h0 1i h1,Por otro lado el operador de densidad. 0i h0 1i h1, puede ser interpretado como un ensamble donde la probabilidad de estar en el estado 0i. es 1 2 y de estar en 1i es tambie n 1 2 Este operador de densidad no puede ser escrito. como un vector de estado,Estado puro Estado mezclado.
Figura 1 Un estado puro es aque l donde todos los elementos de un ensamble se en. cuentran en el mismo estado En un ensamble en un estado mezclado las. componentes se encuentran en distintos estados,Evolucio n temporal. Para el caso no relativista la evolucio n temporal del estado de un sistema esta dado. por la ecuacio n de Schro dinger,donde H es el operador Hamiltoniano del sistema. 1 Repaso de meca nica cua ntica Asaf Paris Mandoki. Para un operador de densidad la ecuacio n de evolucio n toma la forma. donde A B AB BA es el conmutador, Para encontrar la ecuacio n de evolucio n para un operador de densidad considere. mos primero su forma general,t pi i t i h i t,La derivada temporal esta dada por. H i i h i i i h i H, Para esto usamos la ecuacio n de Schro dinger para los bras.
Estas ecuaciones son de gran importancia pues juegan un papel ana logo al que la. segunda ley de Newton F ma juega para la meca nica cla sica Nos permiten hacer. predicciones acerca de estado futuro de un sistema si conocemos las fuerzas que actu an. sobre el mismo y su estado inicial, Un caso de gran importancia es aque l en el que el Hamiltoniano no depende del tiempo. En este caso se pueden buscar estados estacionarios que representan los estados estables. del sistema adema s de ser u tiles para la solucio n de problemas dependientes del tiempo. Para ello consideramos estados de la forma,t i i e iEt. y con ello la Ecuacio n de Schro dinger Eq 1 toma la forma. A esta ecuacio n se le suele llamar Ecuacio n de Schro dinger independiente del tiempo. y es una ecuacio n de eigenvalores En general para un sistema con estados ligados se. 1 Repaso de meca nica cua ntica Asaf Paris Mandoki. puede encontrar un conjunto discreto de eigenvalores Ei y eigenvectores i i tales que. si Ei 6 Ej entonces h i j i 0 Adema s estos eigenvectores forman una base para. el espacio es decir cualquier estado puede ser escrito como combinacio n lineal de los. estados estacionarios, Por otro lado la solucio n general a la Ecuacio n de Scrho dinger dependiente del tiempo. Eq 1 tiene la forma,t i e iHt 0 i, para el caso cuando el Hamiltoniano no depende del tiempo y 0 i es el estado inicial. Sin embargo saber co mo actu a el operador de evolucio n temporal U t e iHt sobre. un estado inicial no siempre es fa cil Es aqu donde los estados estacionarios juegan un. papel crucial Esto es porque al aplicar el operador de evolucio n a un estado estacionario. j i obtenemos,U t j i e iEj t j i, Para un estado general escrito en te rminos de estados estacionarios 0 i j cj j i.
obtenemos X,t i U t 0 i cj e iEj t j i, En la representacio n de posicio n y momento el operador Hamiltoniano puede obte. nerse a partir del Hamiltoniano cla sico tras sustituir a las variables por sus correspon. dientes operadores En la base de posicio n la sustitucio n necesaria es x X x y. p P i Para una part cula sujeta a un potencial V x la ecuacio n de Schro din. ger para la funcio n de onda toma la forma,i x t V x t x t. 1 3 Soluciones aproximadas, Teor a de perturbaciones independiente del tiempo y no degenerada. La teor a de perturbaciones es un me todo que nos permite obtener eigenvalores y. eigenvectores aproximados de un Hamiltoniano complejo H siempre que pueda ser escrito. donde H0 es un Hamiltoniano que sabemos co mo diagonalizar meintras que el te rmino. de perturbacio n W es pequen o comparado con el Hamiltoniano original H0 Esto se. suele garantizar haciendo que 1 de tal modo que las cantidades f sicas del sistema. completo cuyo Hamiltoniano es H pueden ser expresadas como correcciones a las can. tidades del sistema conocido Esto se logra expresando a los eigenvalores y eigenvectores. como una serie de potencias de,Ej Ej Ej 2 Ej,j i j i j i 2 j i. 1 Repaso de meca nica cua ntica Asaf Paris Mandoki. aqu hemos denotado por Ej y j i al j e simo eigenvalor y eigenvector de H respectiva. Revisaremos u nicamente el caso de una perturbacio n independiente del tiempo y donde. todos los eigenvalores de H0 son discretos y distintos entre s Primero sustituyendo estas. series en la ecuacio n de Schro dinger de la siguiente forma. 0 1 0 1 0 1,H0 W j i j i Ej Ej j i j i, Al expandir los productos y comparar coeficientes con la misma potencia de obten.
dremos un conjunto infinito de ecuaciones simulta neas Sin embargo como 1 las. ecuaciones de menor orden tendra n una mayor relevancia La ecuacio n que se obtiene. para orden cero es simplemente la ecuacio n de Schro dinger independiente del tiempo. para el Hamiltoniano H0 De ese modo encontramos que las correcciones de orden cero. satisfacen,H0 j i Ej j i, Correccio n de primer orden Si nos fijamos en los te rminos de la Ecuacio n 2 que de. penden como 1 encontraremos la ecuacio n que determina la correccio n a primer orden. 1 0 0 1 1 0,H0 j i W j i Ej j i Ej j i, Al calcular el producto interno de esta ecuacio n con h j obtenemos la correccio n a la. energ a en primer orden,Ej h j W j i, Para obtener la expresio n anterior hemos usado que h j j i 0 Para ver esto. notemos primero que podemos suponer que h j j i 1 pues son eigenvectores. de H0 Por otro lado tamb en deber a cumplirse que los eigenvectores de H este n. normalizados y por tanto cumplan h j j i 1 Se sigue que a primer orden en. 1 Repaso de mec anica cu antica Asaf Paris Mandoki 1 Repaso de mec anica cu antica En esta primera secci on haremos un repaso de los conceptos de mec anica cu antica m as esenciales para este curso 1 1 Notaci on de Dirac En la literatura moderna de mec anica cu antica la notaci on de brakets de Dirac se ha convertido en la notaci on est

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