Corso Di Analisi Matematica 2 Esercizi Dm Unibo It-Books Pdf

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ESERCIZI dm unibo it
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14 Calcolo di erenziale 1,14 1 Derivate parziali 1. 14 1 1 Derivate parziali 1,14 2 Massimi e minimi 2. 14 2 1 Massimi e minimi di funzioni 2,14 3 Derivate parziali di ordine superiore 12. 14 3 1 Derivate parziali di ordine superiore 12,14 4 Di erenziabilita e derivata 13. 14 4 1 Dominio matrice jacobiana e derivata 13,14 4 2 Matrice jacobiana e derivata 15.
14 4 3 Derivata della funzione composta 16,14 4 4 Gradiente e di erenziale 18. 14 5 Derivate direzionali 20,14 5 1 Derivate direzionali 20. 14 6 Di eomor smo 23, 14 6 1 Di eomor smo e derivata della funzione inversa 23. 14 7 Estremanti relativi 27,14 7 1 Estremanti relativi in R2 27. 14 7 2 Estremanti relativi in R3 31,15 Forme di erenziali lineari 35.
15 1 Forme di erenziali esatte 35,15 1 1 Forme di erenziali esatte in R2 35. 15 1 2 Forme di erenziali esatte in R3 37,15 1 3 Forme di erenziali esatte in RN 38. 15 2 Campi di vettori esatti 38,15 2 1 Campi di vettori esatti 38. 15 3 Integrale di forme di erenziali su traiettorie 39. 15 3 1 Integrale di forme di erenziali su traiettorie 39. 16 Equazioni implicite 41,16 1 Problema con equazione implicita 41. 16 1 1 Problema con equazione implicita in R2 41, 16 1 2 Problema con una equazione implicita in R3 42.
16 1 3 Problema con un sistema di due equazioni implicite in R3 44. 17 Sottovarieta di erenziali di RN 45,17 1 Sottovarieta di erenziali di RN 45. 17 1 1 Sottovarieta di erenziale spazio tangente spazio normale va. rieta lineare tangente varieta lineare normale 45, 17 1 2 Spazio tangente spazio normale varieta lineare tangente va. rieta lineare normale ad una sottovarieta in forma parametrica 54. 17 1 3 Sottovarieta e derivate direzionali 55,17 2 Massimi e minimi 57. 17 2 1 Massimi e minimi di funzioni di due variabili 57. 17 2 2 Massimi e minimi di funzioni di tre variabili 66. 18 Equazioni di erenziali 103,18 1 Equazioni del primo ordine 103. 18 1 1 Problemi di Cauchy per equazioni del primo ordine 103. 18 2 Equazioni di ordine superiore al primo 115, 18 2 1 Problemi di Cauchy per equazioni di ordine superiore al primo 115.
19 Equazioni di erenziali lineari 117,19 1 Equazioni del primo ordine 117. 19 1 1 Problema di Cauchy per un equazione del primo ordine 117. 19 2 Sistemi di equazioni di erenziali lineari 120. 19 2 1 Integrale generale per i sistemi di due equazioni 120. 19 2 2 Autovettori e integrale generale per i sistemi di due equazioni 121. 19 2 3 Problema di Cauchy per i sistemi di due equazioni 123. 19 2 4 Autovettori e problema di Cauchy per i sistemi di due equazioni 124. 19 2 5 Problema di Cauchy per i sistemi di tre equazioni 126. 19 3 Equazione di ordine superiore 126, 19 3 1 Integrale generale di un equazioni di erenziale lineare 126. 19 3 2 Problema di Cauchy per equazioni di ordine superiore al primo. a coe cienti costanti 130, 19 3 3 Problema di Cauchy per equazioni di ordine superiore al primo. a coe cienti costanti con parametri 153, 19 3 4 Problema di Cauchy per equazioni lineari a coe cienti non co. stanti 155,20 Integrale di Riemann 157, 20 1 Integrale di Riemann per funzioni di 1 variabile 157.
20 1 1 Calcolo di derivate 157,21 Integrale di Lebesgue 159. 21 1 Integrali multipli 159,21 1 1 Integrali doppi 159. 21 1 2 Convergenza di integrali doppi 175,INDICE vii. 21 1 3 Integrali tripli 176,21 2 Misure di sottoinsiemi di RN 188. 21 2 1 Misure di sottoinsiemi di R2 188,21 2 2 Misure di sottoinsiemi di R3 189.
22 Integrale di funzioni su varieta 197,22 1 Integrali di funzioni su varieta 197. 22 1 1 Integrali curvilinei di funzioni in R2 197,22 1 2 Integrali curvilinei di funzioni in R3 203. 22 1 3 Integrali di super cie di funzioni 204,22 2 Misura di sottoinsiemi di una varieta 209. 22 2 1 Lunghezza di una curva 209,22 2 2 Area di una super cie 211. 23 Integrale di forme di erenziali 215,23 1 Integrale di forme di erenziali 215.
23 1 1 Integrali curvilinei di forme di erenziali in R2 215. 23 1 2 Integrali curvilinei di forme di erenziali in R3 226. 23 1 3 Integrali di super cie di 2 forme 227,24 Teorema di Stokes 235. 24 1 Teorema di Stokes applicato alle curve 235, 24 1 1 Integrali curvilinei di forme di erenziali esatte 235. viii INDICE,Capitolo 14,Calcolo di erenziale,14 1 Derivate parziali. 14 1 1 Derivate parziali,1 Esercizio Sia,f x y z R3 x 0 R x y z x5 sin. per x y z dom f calcolare,x x y z y x y z z x y z,si dimostri che esiste k R tale che.
x x y z y x y z z x y z kf x y z,si determini tale k. Risoluzione Sia x y z dom f Si ha,f y 2 z 2 2 2,x x y z 5x sin x2 x5 cos y x z. 2 y 2 z 2 x23,5x4 sin y x z,2 2x2 y 2 z 2 cos y x z. y x y z x5 cos y x z,x2 2x3 y cos y x z,z x y z x5 cos x2 x2 2x3 z cos y x z. Si ha quindi,x x y z y y x y z z z x y z,5x5 sin y x z.
2 2x3 y 2 z 2 cos y x z,2 2x3 y 2 cos y 3 2,2x z cos y. 5x5 sin y x z,2 5f x y z,Si ha quindi k 5,2 CAPITOLO 14 CALCOLO DIFFERENZIALE. 14 2 Massimi e minimi,14 2 1 Massimi e minimi di funzioni. 1 Esercizio Dire se esistono il massimo ed il minimo della seguente funzione. f x y R2 y 0 y x 0 x y 2 R x y x2 xy,in caso a ermativo determinarli. Risoluzione Essendo f continua e de nita su un compatto f ammette. massimo e minimo, Sia D il dominio di f Sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per f.
Consideriamo f su D Per ogni x y D si ha,x x y 2x y. Si ha grad f x y 0 0 se e solo se cioe se e solo se x y. 0 0 Essendo 0 0 D si ha E D si ha quindi E Fr D, Consideriamo f su Fr D Posto S1 0 0 2 0 S2 2 0 1 1 S3. 0 0 1 1 si ha Fr D S1 S2 S3, Consideriamo f su S1 Su S1 si ha x y x 0 e 0 x 2 si ha quindi. f x y f x 0 x2 sia,h1 0 2 R x x2, se x y E S1 allora x e un estremante per h1 Sia E1 l insieme degli. estremanti di h1 Poiche h1 e strettamente crescente si ha E1 0 2 Si ha. E S1 0 0 2 0,14 2 MASSIMI E MINIMI 3, Consideriamo f su S2 Su S2 si ha x y x 2 x e 1 x 2 si ha quindi.
f x y f x 2 x x2 x 2 x 2x sia,h2 1 2 R x 2x, se x y E S2 allora x e un estremante per h2 Sia E2 l insieme degli. estremanti di h2 Poiche h2 e strettamente crescente si ha E2 1 Si ha. Consideriamo f su S3 Su S3 si ha x y x x e 0 x 1 si ha quindi. f x y f x x 2x2 sia,h3 0 1 R x 2x2, se x y E S3 allora x e un estremante per h3 Sia E3 l insieme degli. estremanti di h3 Poiche h3 e strettamente crescente si ha E3 si ha quindi. Si ha quindi,E 0 0 2 0 1 1,f 0 0 0 f 2 0 4 f 1 1 2. Si ha quindi max f 4 e min f 0,2 Esercizio Data la funzione. f x y R2 x 1 x y x R x y 3x2 xy 2y 2,a dire se f ammette massimo e se f ammette minimo.
b in caso a ermativo determinare il minimo ed il massimo di f. Risoluzione,D x y R2 x 1 y x y x, Essendo D compatto ed f continua f ammette massimo e minimo. b Sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per f. Consideriamo f su D Per ogni x y D si ha,x x y 6x y. y x y x 4y,4 CAPITOLO 14 CALCOLO DIFFERENZIALE, Si ha grad f x y 0 0 se e solo se cioe se e solo se. x y 0 0 essendo 0 0 D si ha E D si ha quindi E Fr D. Consideriamo f su Fr D Posto S1 1 1 1 1 S2 0 0 1 1. S3 0 0 1 1 si ha Fr D S1 S2 S3, Consideriamo f su S1 Su S1 si ha x y 1 y e 1 y 1 si ha. quindi f x y f 1 y 3 y 2y 2 sia,h1 1 1 R y 2y 2 y 3.
se x y E S1 allora y e un estremante per h1 Sia E1 l insieme degli. estremanti di h1 Per y 1 1 si ha,h 1 y 4y 1,si ha h 1 y 0 se e solo se y 41 si ha quindi. si ha quindi,E S1 1 1 1 1 1, Consideriamo f su S2 Su S2 si ha x y x x e 0 x 1 si ha quindi. f x y f x x 3x2 x2 2x2 4x2 sia,h2 0 1 R x 4x2, se x y E S2 allora x e un estremante per h2 Sia E2 l insieme degli. estremanti di h2 Poiche h2 e strettamente crescente si ha E2 0 Si ha. Consideriamo f su S3 Su S3 si ha x y x x e 0 x 1 si ha. quindi f x y f x x 3x2 x22 x2 6x2 sia,h3 0 1 R x 6x2. se x y E S3 allora x e un estremante per h3 Sia E3 l insieme degli. estremanti di h3 Poiche h3 e strettamente crescente si ha E3 si ha. quindi E S3,Si ha quindi,E 1 1 1 1 1 0 0,f 0 0 0 f 1 1 4 f 1 1 6 f 1 41 23.
Si ha quindi max f 6 e min f 0,3 Esercizio Data la funzione. f x y R2 y 1 x y 1 x y 1 R,x y 2xy 3y 2 y,a dire se f ammette massimo e se f ammette minimo. 14 2 MASSIMI E MINIMI 5, b in caso a ermativo determinare il minimo ed il massimo di f. Risoluzione,D x y R2 y 1 x y 1 x y 1, Essendo D compatto ed f continua f ammette massimo e minimo. b Sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per f. Consideriamo f su D Per ogni x y D si ha,y x y 2x 6y 1.
Si ha grad f x y 0 0 se e solo se cioe se e solo,se x y 12 0 essendo 12 0 D si ha. si ha quindi E Fr D,Consideriamo f su Fr D Posto,S1 2 1 0 1. S2 0 1 1 0,S3 1 0 1 1,si ha Fr D S1 S2 S3, Consideriamo f su S1 Per ogni x y S1 si ha y 1 e 2 x 0 si. ha quindi f x y f x 1 2x 3 1 2x 4 sia,h1 2 0 R x 2x 4. sia E1 l insieme dei punti di massimo o di minimo per h1 la funzione h1 e. strettamente crescente si ha quindi,si ha quindi,E S1 2 1 0 1.
Consideriamo f su S2 Su S2 si ha x 1 y e 1 y 0 si ha quindi. f x y f 1 y y 2 1 y y 3y 2 y 2y 2y 2 3y 2 y 5y 2 y. 6 CAPITOLO 14 CALCOLO DIFFERENZIALE,h2 1 0 R y 5y 2 y. sia E2 l insieme dei punti di massimo o di minimo per h2 per ogni y 1 0. si ha h 2 y 10y 1 quindi h,0 se e solo se y 10,1 10 0 si ha quindi E2 10 0 si ha quindi. Consideriamo f su S3 Su S3 si ha x y 1 e 1 y 0 si ha quindi. f x y f y 1 y 2 y 1 y 3y 2 y 2y 2 2y 3y 2 y y 2 y,h3 1 0 R y y 2 y. sia E3 l insieme dei punti di massimo o di minimo per h3 per ogni y. 1 0 si ha h 3 y 2y 1 quindi,1h 3 y 0 se e solo se y 2 si ha. 1 2 0 si ha quindi E3 2 si ha quindi,Si ha quindi,E 2 1 0 1 1 0.
f 2 1 0 f 0 1 4 f 1 0 0 f 9,Si ha quindi max f 4 e min f 14. 4 Esercizio Data la funzione,f x y R2 1 x 1 1 y x4 R. x y x4 2xy 2 y,a dire se f ammette massimo e se f ammette minimo. b in caso a ermativo determinare il minimo ed il massimo di f. Risoluzione,a Sia D dom f,14 2 MASSIMI E MINIMI 7, Essendo D compatto ed f continua f ammette massimo e minimo. b Sia E l insieme dei punti di massimo o di minimo per f. Consideriamo f su D Per ogni x y D si ha,x x y 4x 2y.
y x y 4xy 1,Se si ha grad f x y 0 0 cioe, Per x 0 il sistema non ha soluzioni Supponiamo x 0. Si ha y 4x 1,quindi si ha,4x3 2 16x1,4x3 8x1 2 0,Si ha quindi y 14 2 12. Si trova il punto 12 12,8 CAPITOLO 14 CALCOLO DIFFERENZIALE. Si ha quindi,Consideriamo f su Fr D Posto,F1 1 1 1 1. F2 1 1 1 1,F3 1 1 1 1,F4 x y R2 1 x 1 y x4,si ha Fr D F1 F2 F3 F4.
Consideriamo f su F1 Per ogni x y F1 si ha y 1 e 1 x 1 si. f x y f x 1 x4 2x 1,g1 1 1 R x x4 2x 1, sia E1 l insieme dei punti di massimo o di minimo per g1. Sia x 1 1 Si ha,g1 x 4x3 2, Si ha g1 x 0 se e solo se 4x3 2 0 cioe se e solo se x3 12 cioe se e. solo se x 3,Si ha quindi,Si ha quindi,Si ha quindi. E F1 1 1 1 1, Consideriamo f su F2 Per ogni x y F2 si ha x 1 e 1 y 1 si. f x y f 1 y 1 2y 2 y,g2 1 1 R y 1 2y 2 y, sia E2 l insieme dei punti di massimo o di minimo per g2.
Sia y 1 1 Si ha, Si ha g2 y 0 se e solo se 4y 1 0 cioe se e solo se y 14. Si ha quindi,Si ha quindi,Si ha quindi,E F2 1 1 1,14 2 MASSIMI E MINIMI 9. Consideriamo f su F3 Per ogni x y F3 si ha x 1 e 1 y 1 si. f x y f 1 y 1 2y 2 y,g3 1 1 R y 1 2y 2 y, sia E3 l insieme dei punti di massimo o di minimo per g3. Sia y 1 1 Si ha, Si ha g3 y 0 se e solo se 4y 1 0 cioe se e solo se y 14. Si ha quindi,Si ha quindi,Si ha quindi,E F3 1 1 1, Consideriamo f su F4 Per ogni x y F4 si ha y x4 e 1 x 1 si.
f x y f x x4 x4 2x x4 2 x4 2x9,g4 1 1 R x 2x9, sia E4 l insieme dei punti di massimo o di minimo per g4. La funzione g4 e strettamente decrescente si ha quindi E4. Si ha quindi,Si ha quindi,1 1 1 1 1 1 1,f 12 12 16. 2 21 14 12 1 4 8,f 1 1 1 2 1 0,f 1 1 1 2 1 4,3 1 3 2 2 1 23. f 1 14 1 2 16,14 1 18 14 8 1 2,f 1 1 1 2 1 2,f 1 14 1 2 161. 14 1 18 14 8 1 2,f 1 1 1 2 1 2,Si ha 2 32 1,1 se e solo se 3 32.
3 se e solo se 1,2 3 2 se e solo,se e solo se 8 1,2 cio e vero quindi si ha 2 2 312 1.


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